Abbildungskegel
In dem mathematischen Teilgebiet der Topologie ist der Abbildungskegel eine Konstruktion, die einer stetigen Funktion zwischen zwei topologischen Räumen einen dritten solchen Raum zuordnet.Sie ist nah verwandt mit dem Konzept des Kegels über einem topologischen Raum; ebenso wie dieser wird der Abbildungskegel hauptsächlich in der algebraischen Topologie betrachtet. Allgemeiner gibt es in der homologischen Algebra den Abbildungskegel von Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.
Definition
Seien zwei topologische Räume und
eine stetige Funktion zwischen diesen, sei weiter
der Kegel über
.
Den Abbildungskegel erhält man nun (wie in der Zeichnung angedeutet) durch Verkleben von
und
vermöge
.
Genauer bedeutet dies:
Identifiziert man in der disjunkten Vereinigung jeweils
mit
für jedes
, so ergibt sich implizit eine Äquivalenzrelation
.
Der Abbildungskegel ist dann der Faktorraum versehen mit der Quotiententopologie bezüglich der kanonischen Projektion
.
Reduzierter Abbildungskegel
In der Kategorie der punktierten topologischen Räume - sind also punktiert und gilt
- betrachtet man meist den reduzierten Abbildungskegel
.Dieser entsteht dadurch, dass man im Abbildungskegel
auch noch das Intervall
- genauer sein Bild unter der Projektion
- identifiziert.
Analog kann bei der obigen Konstruktion des Abbildungskegels auch gleich vom reduzierten Kegel ausgegangen werden.
Eigenschaften
- Der Raum
ist in natürlicher Weise Teilraum von
, da jeder seiner Punkte unter der Projektion
erhalten bleibt.
- Ist
injektiv und relativ offen, also ein Homöomorphismus auf sein Bild, so sind auch
und damit
in
enthalten.
- Betrachtet man die Identität
, so gilt die Homöomorphie
.
Alle obigen Beziehungen gelten auch für den reduzierten Abbildungskegel im Falle punktierter Räume und
und basispunkterhaltendem
, gegebenenfalls muss dafür zum reduzierten Kegel
übergegangen werden.
- Ist
die anklebende Abbildung in einem CW-Komplex
an das
-Skelett
, so ist der Abbildungskegel
homöomorph zum
-Skelett
.
Dies ist eine der Hauptanwendungen des Abbildungskegels in der algebraischen Topologie.Speziell für den reduzierten Abbildungskegel gilt außerdem:
- Sind
punktiert und
konstant, so gilt
, wobei
die reduzierte Einhängung von
und
das Wedge-Produkt bezeichne.
- Für einen wohlpunktierten Raum ist der reduzierte Abbildungskegel homotopieäquivalent zum normalen Abbildungskegel.
- Eine Abbildung
induziert einen Isomorphismus
für eine Homologietheorie
genau dann wenn
.
Rolle in der Homotopietheorie
Sind zwei stetige Abbildungen homotop, so sind ihre Abbildungskegel
und
homotopieäquivalent.
Wenn ein abgeschlossener Teilraum und die Inklusion
eine Kofaserung ist, so ist
homotopieäquivalent zum Quotientenraum
.Es lässt sich außerdem zeigen, dass die Inklusion
stets eine abgeschlossene Kofaserung ist. Somit erhält man, dass der Abbildungskegel
homotopieäquivalent zu
ist, wobei hier
die Einhängung von
bezeichne.Fährt man auf die gleiche Weise fort, so folgt, dass der Abbildungskegel der Inklusion von
nach
die Einhängung von
ergibt usw.
Hat man weiter ein stetiges in einen topologischen Raum
, so ist die Komposition
genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn
fortsetzbar ist zu einer Abbildung
. Für den Fall, dass
ist das Resultat noch etwas anschaulicher: eine Abbildung
ist genau dann homotop zu einer konstanten Abbildung, wenn sie fortsetzbar ist zu einer Abbildung
. Um die Abbildung
zu konstruieren, benutzt man einfach die Homotopie
, die auf
konstant ist.
Wenn man punktierte Räume und basispunkterhaltende Abbildungen betrachtet, bedeutet dies, dass die folgende Sequenz exakt ist:
Diese exakte Sequenz nennt man auch Puppe-Folge.
Abbildungskegel einer Kettenabbildung
Seien zwei Kettenkomplexe mit Differentialen
d. h.,
und entsprechend für
Für eine Kettenabbildung definiert man den Abbildungskegel
oder
als den Kettenkomplex:
mit Differential
.
Hierbei bezeichnet den Kettenkomplex mit
und
.Explizit berechnet sich das Differential wie folgt:
Wenn eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und
die induzierte Kettenabbildung zwischen den singulären Kettenkomplexen ist, dann ist
.
Siehe auch
Literatur
- Glen E. Bredon: Topology and Geometry. Revised 3rd printing. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-97926-3 (Graduate Texts in Mathematics 139).
- Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Reprint of the 1975 edition. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).