Defekt (Mathematik)
Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.
Definition für lineare Abbildungen
Seien und
zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von
sei
, die Dimension von
sei
. Sei weiter
eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz
.[1]
Defekt bei Matrizen
Eine Matrix mit Elementen aus einem Körper
kann als lineare Abbildung
interpretiert werden.In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix
durch
definiert. Der Defekt von ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems
.
Ist die Nullmatrix, so ist
gleich der Spaltenzahl von
. Andernfalls ist
gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus
streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie
hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.
Berechnung
Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes.Jede Matrix lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix
mit
für
umformen, bei der mit einem
die Diagonalelemente der ersten
Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind (
ist der Rang der Matrix
). Der Defekt dieser Matrix ist dann
(das ist die Aussage des Rangsatzes).
Sei vorausgesetzt, dass nicht die Nullmatrix ist.Streicht man aus
diejenigen Spalten, die den Spalten
in der Matrix
entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie
. Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.
Bei quadratischen Matrizen (also für ) ist der Defekt von
gleich der Anzahl der Nullzeilen in
.
Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.
Beispiele
Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix
die aus durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie
.
Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie
Rangsatz
Hauptartikel: Rangsatz
Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang einer linearen Abbildung
.