Flächengruppe

Sei ${\displaystyle g\geq 1}$ eine natürliche Zahl und ${\displaystyle S_{g}}$ die geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle g}$ .

• 
  ${\displaystyle g=1}$ : Torus
• 
  ${\displaystyle g=2}$ : Doppeltorus
• 
  ${\displaystyle g=3}$ Brezelfläche^[1]

Die Fundamentalgruppen ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}}$ werden als Flächengruppen bezeichnet.

Die Flächengruppe ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}}$ hat die Präsentierung

${\displaystyle \pi _{1}S_{g}=\langle a_{1},b_{1},\ldots ,a_{g},b_{g}\mid \Pi _{i=1}^{g}\left[a_{i},b_{i}\right]=1\rangle }$ .

Zum Beispiel ist ${\displaystyle \pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}}$ .

Mit Ausnahme von ${\displaystyle \pi _{1}S_{1}=\mathbb {Z} ^{2}}$ sind alle Flächengruppen hyperbolisch. Max Dehn benutzte hyperbolische Geometrie, um das Wortproblem für Flächengruppen zu lösen.^[2] Diese Arbeit gilt als Vorläufer für die in den 1980er Jahren von Gromow entwickelte Theorie der hyperbolischen Gruppen.

Flächengruppen sind – wie alle hyperbolischen Gruppen – automatische Gruppen, ihr Wortproblem lässt sich also in quadratischer Zeit lösen.

Die Theorie der Darstellungen von Flächengruppen ${\displaystyle \pi _{1}S_{g}}$ in Lie-Gruppen ${\displaystyle G}$ wird als Höhere Teichmüller-Theorie bezeichnet. Klassische Teichmüller-Theorie ist der Spezialfall ${\displaystyle G=PSL(2,\mathbb {R} )}$ , in diesem Fall vermittelt die Holonomie eine Bijektion zwischen dem Teichmüller-Raum und einer Zusammenhangskomponente von ${\displaystyle Rep(\pi _{1}S_{g},G):=Hom(\pi _{1}S_{g},PSL(2,\mathbb {R} ))/conj.}$ .

Im Folgenden bezeichnet ${\displaystyle Hom(\pi _{1}S_{g},G)}$ die Darstellungsvarietät, deren Zusammenhangskomponenten – für zusammenhängende Lie-Gruppen ${\displaystyle G}$ – den Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle Rep(\pi _{1}S_{g})}$ entsprechen.

• Für kompakte, zusammenhängende Gruppen ${\displaystyle G}$ entsprechen die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät den Elementen von ${\displaystyle \pi _{1}G}$ .^[3]
• Für ${\displaystyle G=PSL(2,\mathbb {R} )}$ werden die Zusammenhangskomponenten der Darstellungsvarietät durch die Werte der Euler-Klasse ${\displaystyle e}$ klassifiziert. Weil nach der Milnor-Wood-Ungleichung die Euler-Klasse genau die ganzzahligen Werte im Intervall ${\displaystyle \left[\chi (S_{g}),-\chi (S_{g})\right]}$ annehmen kann, hat die Darstellungsvarietät ${\displaystyle 4g-3}$ Zusammenhangskomponenten. Eine Darstellung ist treu mit diskretem Bild genau dann, wenn ${\displaystyle \mid e\mid =\chi (S_{g})}$ .^[4]
• Für ${\displaystyle G=SL(2,\mathbb {R} )}$ hat die Darstellungsvarietät ${\displaystyle 2^{2g+1}+2g-3}$ Zusammenhangskomponenten.
• Für ${\displaystyle G=PSL(2,\mathbb {C} )}$ oder ${\displaystyle G=SO(3)}$ werden die Zusammenhangskomponenten von ${\displaystyle Rep(\pi _{1}S_{g},G)}$ durch die Werte der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{2}}$ klassifiziert, die Darstellungsvarietät hat zwei Zusammenhangskomponenten.
• Für ${\displaystyle G=SL(2,\mathbb {C} )}$ oder ${\displaystyle G=SU(2)}$ ist die Darstellungsvarietät zusammenhängend.
• Für ${\displaystyle G=PSL(n,\mathbb {R} )}$ mit ${\displaystyle n\geq 3}$ hat die Darstellungsvarietät 3 Komponenten, falls ${\displaystyle n}$ ungerade ist, und 6 Komponenten, falls ${\displaystyle n}$ gerade ist. Der Beweis benutzt die Theorie der Higgs-Bündel.^[5]

• Heiner Zieschang, Elmar Vogt, Hans-Dieter Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen (= Lecture Notes in Mathematics. Bd. 122). Springer, Berlin u. a. 1970.