Verteilung mit schweren Rändern

Eine Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ besitzt eine Verteilung mit schweren Rändern, wenn für ihre Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$ gilt:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,\mathrm {d} F(x)=\infty \quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} t>0.}$ ^[2]

Für die Teilmenge der subexponentiellen Verteilungen gilt zudem:

Sind ${\displaystyle X_{n}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so gilt unter der Annahme, dass sie subexponentiell verteilt sind, dass die Verteilung der Summe der ${\displaystyle X_{n}}$ asymptotisch durch die Verteilung des Maximums der ${\displaystyle X_{n}}$ bestimmt ist^[3].

• Pareto-Verteilung
• Logarithmische Normalverteilung
• Logarithmische Gammaverteilung
• Lévy-Verteilung
• Cauchy-Verteilung
• Weibull-Verteilung mit Formparameter kleiner 1
• t-Verteilung

In der Versicherungsmathematik verwendet man Verteilungen mit schweren Rändern zur Modellierung von Großschäden und Extremereignissen.

Auch in der Finanzwirtschaft sind schwere Ränder von Bedeutung. So zeigten Benoit Mandelbrot und Eugene Fama, dass die Renditen von Aktien und anderen spekulativen Anlagen erheblich von der Normalverteilung abweichen und in der Regel endlastig sind.^[4][5]

• Paul Embrechts, Thomas Mikosch, Claudia Klüppelberg: Modelling extremal events. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.
• Christian Grimm, Georg Schlüchtermann: Verkehrstheorie in IP-Netzen. 1. Auflage. Hüthig, Bonn, Heidelberg 2004, ISBN 3-8266-5047-6.