Mandelbox

Die Mandelbrot-Menge lässt sich definieren als die Menge aller komplexen Zahlen ${\displaystyle c}$ , für die die durch

${\displaystyle f_{c}(0):=0,}$

${\displaystyle f_{c}(n+1):=f_{c}(n)^{2}+c}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$

rekursiv definierte Folge ${\displaystyle \left(f_{c}(n)\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ beschränkt ist. Man erkennt, dass die Bildungsvorschrift „erst quadrieren und dann ${\displaystyle c}$ addieren“ ausgehend von 0 immer wieder iteriert wird. Statt Fraktale in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ zu betrachten, könnte man auch eine Verallgemeinerung zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ versuchen. Dabei interpretiert man das Quadrieren als eine Art „Aufblähung“ zu einer Box oder Kugel.

Wir definieren ${\displaystyle f_{\text{Box}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ folgendermaßen:^[3] Für ${\displaystyle d=1}$ setze man

${\displaystyle f_{\text{Box}}(x)={\begin{cases}-2-x&x<-1\\x&-1\leq x\leq 1\\2-x&x>1\\\end{cases}}}$

Anschaulich gesagt „faltet“ man hier die Teile der Zahlengerade die ${\displaystyle <-1}$ bzw. ${\displaystyle >1}$ an den Rändern des Intervalls ${\displaystyle [-1,1]}$ zusammen. Für jedes ${\displaystyle |x|>1}$ gibt es eine Zahl von Faltungen (Anwendungen der Funktion ${\displaystyle f_{\text{Box}}}$ ), die ${\displaystyle x}$ ins Intervall bringt, wo es dann bei allen weiteren Anwendungen von ${\displaystyle f_{\text{Box}}}$ bleibt. Für ${\displaystyle d>1}$ und ${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{d})}$ setze man

${\displaystyle f_{\text{Box}}(x_{1},\dotsc ,x_{d}):=(f_{\text{Box}}(x_{1}),\dotsc ,f_{\text{Box}}(x_{d})).}$

In den einzelnen Komponenten rechts soll ${\displaystyle f_{\text{Box}}}$ die Funktion im Eindimensionalen bezeichnen.

Die Funktion ${\displaystyle f_{\text{Ball}}\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R} ^{d}}$ definiere man durch

${\displaystyle f_{\text{Ball}}(x)={\begin{cases}4x&\lVert x\rVert <{\frac {1}{2}}\\{\frac {x}{\lVert x\rVert ^{2}}}&{\frac {1}{2}}\leq \lVert x\rVert \leq 1\\x&\lVert x\rVert >1\\\end{cases}}}$

Hier bezeichnet ${\displaystyle \lVert x\rVert }$ die Norm des Vektors ${\displaystyle x}$ . Die Funktion ${\displaystyle f_{\text{Ball}}}$ lässt, anschaulich gesagt, das Innere einer Sphäre „explodieren“, wobei die erste Bedingung vor allem wegen des Punktes ${\displaystyle 0}$ notwendig ist, da man durch ${\displaystyle 0}$ nicht dividieren kann.

Anschließend benötigen wir die zwei Rechenoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation.

Die Mandelbox ${\displaystyle M_{d,\mu }\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ bezüglich eines reellen Parameters ${\displaystyle \mu }$ ist die Menge aller Punkte ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}$ , für die die rekursiv definierte Folge ${\displaystyle (m_{\mu ,c}(n))}$

${\displaystyle m_{\mu ,c}(0)=0,}$

${\displaystyle m_{\mu ,c}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(m_{\mu ,c}(n)))+c,}$

beschränkt ist. Die Zahl ${\displaystyle \mu }$ wird hierbei Skalierungsfaktor genannt.

Eine Julia-Box definiert man als Menge aller Punkte ${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{d}}$ , sodass für ein festes ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{d}}$ die Folge ${\displaystyle (j_{\mu ,v}(n))}$ definiert durch

${\displaystyle j_{\mu ,v}(0)=v,}$

${\displaystyle j_{\mu ,v}(n+1)=\mu \cdot f_{\text{Ball}}(f_{\text{Box}}(j_{\mu ,c}(n)))+c,}$

beschränkt ist.^[4][5]

Für ${\displaystyle d=2}$ und ${\displaystyle \mu =1}$ erhält man (nach der üblichen Identifikation des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ) die Mandelbrot-Menge. Ansonsten hängt das Aussehen der Mandelbox im Wesentlichen von ${\displaystyle \mu }$ ab. Für ${\displaystyle d=3}$ kann man folgende computergenerierte Grafiken angeben:

• 
  ${\displaystyle \mu =-2}$
• 
  ${\displaystyle \mu =-1,5}$
• 
  ${\displaystyle \mu =-1}$
• 
  ${\displaystyle \mu =3}$

• Für ${\displaystyle \mu <-1}$ gilt: Gilt für ein ${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$ die Ungleichung ${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >2}$ , so ist ${\displaystyle v\notin M_{d,\mu }}$ . Daraus folgt unmittelbar, dass ${\displaystyle [-2,2]^{d}}$ die größtmögliche in dem Fraktal erhaltene Box ist. Rechts sieht man ein Beispiel, wenn die Skalierung auf -1,5 gesetzt wird.^[6]
• Für ${\displaystyle \mu >1}$ ist ein Punkt ${\displaystyle (v_{1},\dots v_{d})\in \mathbb {R} ^{d}}$ nicht in ${\displaystyle M_{d,\mu }}$ enthalten, wenn^[6]

${\displaystyle \vert \max(v_{1},\dots v_{d})\vert >{\frac {2(\mu +1)}{\mu -1}}.}$

• Im Allgemeinen ergeben sich abhängig vom Wert ${\displaystyle \mu }$ unterschiedliche Fraktale. Zum jetzigen Stand (2024) sind die Fraktale noch nicht zufriedenstellend charakterisiert worden.^[7]

Commons: Mandelboxes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• The Mandelbox Set – Mathematische Beschreibung
• Galerie und Beschreibung