Satz von Schilder

Sei ${\displaystyle B_{t\in [0,1]}}$ eine standard Brownsche Bewegung auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ . Weiter bezeichne ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}:={\mathcal {C}}_{0}([0,1],\mathbb {R} ^{d})}$ den Raum der stetigen Funktionen ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d}}$ mit ${\displaystyle f(0)=0}$ und Supremumsnorm ${\displaystyle \|\cdot \|}$ . Seien ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ die von dem skalierten Prozess ${\displaystyle B_{\varepsilon }(t):={\sqrt {\varepsilon }}B_{t}}$ induzierten Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}}$ .

Mit ${\displaystyle H_{1}}$ bezeichne man den Cameron-Martin Raum, d. h. den Raum aller absolut stetigen funktionen mit ${\displaystyle f(0)=0}$ mit quadratisch-integrierbarer Ableitung ${\displaystyle H_{1}:=\{f:[0,1]\to \mathbb {R} ^{d},f(0)=0,{\dot {f}}\in L^{2}([0,1])\}}$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle (\mu _{\varepsilon })}$ wenn ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ das Prinzip der großen Abweichungen mit guter Rate-Funktion

${\displaystyle I_{B}(f)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}|{\dot {f}}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t&f\in H_{1}\\\infty &f\not \in H_{1}\ \end{cases}}}$ .

Das heißt für alle offenen ${\displaystyle O\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}$ und geschlossenen Mengen ${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {C}}_{0}([0,1])}$

${\displaystyle -\inf _{f\in O}I_{B}(f)\leq \liminf _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(O)\leq \limsup _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf _{f\in C}I_{B}(f)}$