Criterio de la segunda derivada

Sea ${\displaystyle f}$ una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle f'(x)=0}$ (${\displaystyle x}$ es, consecuentemente, un punto crítico de ${\displaystyle f(x)}$ ) con la siguiente segunda derivada:^[1]​

1. Si ${\displaystyle f''(x)<0}$ , entonces ${\displaystyle f}$ tiene un máximo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ .
2. Si ${\displaystyle f''(x)>0}$ , entonces ${\displaystyle f}$ tiene un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ .
3. Si ${\displaystyle f''(x)=0}$ , entonces el criterio no decide. Esto es, ${\displaystyle f}$ quizás tenga un máximo relativo en ${\displaystyle x}$ , un mínimo relativo en ${\displaystyle (x,f(x))}$ o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Ejemplo

Los puntos críticos de la función ${\displaystyle f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2}$ son ${\displaystyle x=1}$ y ${\displaystyle x=7/9}$ . La función es dos veces derivable en entornos de estos puntos y su segunda derivada es ${\displaystyle f''(x)=18x-16}$ . Como ${\displaystyle f''(1)=2>0}$ y ${\displaystyle f''(7/9)=-2<0}$ , por el criterio de la segunda derivada, ${\displaystyle f}$ tiene un mínimo local en ${\displaystyle x=1}$ y un máximo local en ${\displaystyle x=7/9}$ .^[2]​.

• Criterio de la primera derivada
• Criterio de la tercera derivada
• Extremos de una función
• Punto de inflexión
• Punto crítico
• Punto estacionario

Criterio de la Segunda Derivada. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo