Matriz transpuesta

Sea $A$ una matriz con $m$ filas y $n$ columnas. La matriz traspuesta, denotada con $A^{t}$ .^[1]^[2]

La traspuesta A^T de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (A^T)^T = A.

Está dada por:

(A^{t})_{ij}=A_{ji},\ 1\leq i\leq n,\ 1\leq j\leq m

^[3]

En donde el elemento $a_{ji}$ de la matriz original $A$ se convertirá en el elemento $a_{ij}$ de la matriz traspuesta $A^{t}$ .

Ejemplos

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}a&c&e\\b&d&f\\\end{bmatrix}}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{bmatrix}}^{t}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}

Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:

${\begin{bmatrix}0&0&4\\1&0&4\\0&1&0\\0&3&2\\0&2&3\\0&3&4\\3&3&1\end{bmatrix}}^{t}\quad =\quad {\begin{bmatrix}0&1&0&0&0&0&3\\0&0&1&3&2&3&3\\4&4&0&2&3&4&1\end{bmatrix}}$

Propiedades

Involutiva

Para toda matriz $A$ ,

(A^{t})^{t}=A\,

Demostración
Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean a_ij dichos elementos, denotando por A = (a_ij)_ij a la matriz, se tiene $(A^{t})^{t}=\left(\left(a_{ij}\right)_{ij}^{t}\right)^{t}=\left(\left(a_{ji}\right)_{ij}\right)^{t}=\left(a_{ij}\right)_{ij}=A$ ∎

Distributiva

Sean A y B matrices con elementos en un anillo ${\mathcal {A}}$ y sea $c\in {\mathcal {A}}$ :

(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}\,

Demostración
Denotando por A = (a_ij)_ij, B = (b_ij)_ij y A+B = (c_ij)_ij, donde c_ij = a_ij+b_ij, se tiene $(A+B)^{t}=\left(c_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(c_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}+b_{ji}\right)_{ij}=\left(a_{ji}\right)_{ij}+\left(b_{ji}\right)_{ij}=A^{t}+B^{t}$ ∎

Lineal: $(c\,A)^{t}=c\,A^{t}$

Demostración
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa $cA=c\left(a_{ij}\right)_{ij}=\left(ca_{ij}\right)_{ij}$ sea d_ij = c a_ij, con esta notación se tiene c A = (d_ij)_ij, por trasposición queda $(cA)^{t}=\left(d_{ij}\right)_{ij}^{t}=\left(d_{ji}\right)_{ij}=\left(ca_{ji}\right)_{ij}=cA^{t}$ ∎

Para el producto usual de las matrices $A$ y $B$ ,

(AB)^{t}=B^{t}A^{t}\,

Demostración
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (a_ij)_ij, B = (b_ij)_ij y A B = (c_ij)_ij entonces por definición $c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}b_{kj}$ por trasposición queda $c_{ji}=\sum _{k=1}^{r}a_{jk}b_{ki}=\sum _{k=1}^{r}b_{ki}a_{jk}$ que coincide con la definición de producto para B^t A^t∎

Si $A$ es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces

A^{t}A\,

es semidefinida positiva.

Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con $\scriptstyle \\|\cdot \\|$ denotando la norma euclídea. $x^{t}A^{t}Ax=(Ax)^{t}Ax=\\|Ax\\|^{2}$ de las propiedades de la norma se deduce x^t A^t A x ≥ 0 para todo x, luego A^t A es semidefinida positiva. ∎

Definiciones asociadas

Una matriz cuadrada $A$ es simétrica si coincide con su traspuesta:

A^{t}=A\,

Una matriz cuadrada $A$ es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.

A^{t}=-A\,

Si los elementos de la matriz $A$ son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.

A^{t}={\bar {A}},\quad A=({\bar {A}})^{t}=A^{\dagger }

y antihermítica si

A^{t}=-{\bar {A}}

Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).

Véase también

La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.
Trasposición de un operador lineal

Referencias

Enlaces externos

, Springer, ISBN 978-1556080104 .

Datos: Q223683

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