Relleno con círculos de un triángulo equilátero

Se conocen las soluciones óptimas para n < 13 y para cualquier número triangular de círculos, y en los años 1990 se formularon conjeturas para n < 28.^[1]​^[2]​^[3]​

Una conjetura de Paul Erdős y Norman Oler indica que, si n es un número triangular, entonces los empaquetamientos óptimos de los n−1 y de los n círculos tienen la misma longitud lateral: es decir, según la conjetura, se puede encontrar un empaquetamiento óptimo para n−1 círculos eliminando cualquier círculo individual del empaquetamiento hexagonal óptimo para n círculos.^[4]​ Esta conjetura ahora se sabe que es verdadera para n ≤ 15.^[5]​

Soluciones mínimas y su longitud del lado del triángulo asociado para círculos de radio uno:^[1]​

Número de círculos	Número triangular	Longitud	Área
1	Sí	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ = 3.464...	5.196...
2	No	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...	12.928...
3	Sí	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}}$ = 5.464...	12.928...
4	No	${\displaystyle 4{\sqrt {3}}}$ = 6.928...	20.784...
5	No	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...	24.124...
6	Sí	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}}$ = 7.464...	24.124...
7	No	${\displaystyle 2+4{\sqrt {3}}}$ = 8.928...	34.516...
8	No	${\displaystyle 2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}}$ = 9.293...	37.401...
9	No	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...	38.784...
10	Sí	${\displaystyle 6+2{\sqrt {3}}}$ = 9.464...	38.784...
11	No	${\displaystyle 4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 10.730...	49.854...
12	No	${\displaystyle 4+4{\sqrt {3}}}$ = 10.928...	51.712...
13	No	${\displaystyle 4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}}$ = 11.406...	56.338...
14	No	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...	56.908...
15	Sí	${\displaystyle 8+2{\sqrt {3}}}$ = 11.464...	56.908...

Un problema estrechamente relacionado es cubrir el triángulo equilátero con un número fijo de círculos iguales, teniendo un radio tan pequeño como sea posible.^[6]​

• Relleno con círculos de un triángulo isósceles rectángulo
• Círculos de Malfatti, una construcción que brinda la solución óptima para tres círculos en un triángulo equilátero