Kolmion merkilliset pisteet

Kimberlingin piste on yleisnimitys Clark Kimberlingin tutkimista ja luettelemista kolmion merkillisistä pisteistä. Osa pisteistä, neljä yllä lueteltua tapausta, tunnettiin jo antiikin Kreikassa, mutta osa on keksitty myöhemmin ja varsin monet vasta nykypäivinä. Julkaistussa luettelossa on yli 5 000 merkillistä pistettä.^[2] Luettelon pisteet on indeksoitu ja niitä voidaan merkitä lyhyesti joko ${\displaystyle X_{i}}$ ^[3] tai ${\displaystyle X(i)}$ ^[4].

Kolmion merkilliset pisteet sijaitsevat tasolla suhteessa kolmion muotoihin, joten niiden paikka pitää ilmoittaa suhteellisilla koordinaateilla. Sijainti ilmoitetaan yleisesti käyttäen joko kolmion mittoja hyödyntäviä todellisia koordinaatteja, trilineaarisia koordinaatteja tai barysentrisiä koordinaatteja. Karteesisia eli suorakulmaisia koordinaatteja on tasogeometriassa kaksi, mutta trilineaarisia ja barysentrisiä koordinaatteja aina kolme. Merkillisillä pisteillä on keskinäisiä yhteyksiä, mikä tekee niistä matemaattisesti mielenkiintoisia tutkimuskohteita.^[5][4]

Viimeistään antiikin aikana havaittiin, että muodostaan riippumatta kolmiolla on neljä erityisen säännön mukaan muodostettavaa konkurrenttia janaa tai suoraa: kulmanpuolittaja, keskijana, keskinormaali ja korkeusjana. Näiden viivojen leikkauspisteitä kutsuttiin kolmion merkillisiksi pisteiksi.

Antiikin merkilliset pisteet

Kolmion merkillisistä pisteistä neljä tunnettiin niinkin varhain kuin Eukleidesin teoksesta Alkeet. Nämä pisteet ovat:

• Kolmion kulmien kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki samassa kulmanpuolittajien leikkauspisteessä ${\displaystyle X_{1}}$ . Tämä piste on samalla kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste.^[6] Se on aina kolmion sisällä.
• Kun kolmion sivujen keskipisteet yhdistetään kolmion vastakkaisen kulmauksen kärkeen, saadaan kolme keskijanaa, jotka kohtaavat samassa leikkauspisteessä, jota kutsutaan kolmion painopisteeksi. Piste on myös levymäisen kolmion fysikaalinen painopiste ${\displaystyle X_{2}}$ .^[7] Se on aina kolmion sisällä.
• Kolmion sivujen keskipisteeseen piirretyt keskinormaalit kohtaavat keskinormaalien leikkauspisteessä ${\displaystyle X_{3}}$ . Leikkauspiste on samalla kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.^[8] Terävä­kulmaisen kolmion sivujen keskinormaalien leikkauspiste on sen sisällä, tylppä­kulmaisella kolmiolla se on kolmion ulkopuolella. Suora­kulmaisella kolmiolla se sijaitsee kolmion hypotenuusan keskipisteessä.
• Kolmion kärkien ja vastakkaisten sivujen tai niiden jatkeiden väliset korkeusjanat kohtaavat yhdessä leikkauspisteessä. Tätä pistettä kutsutaan ortokeskukseksi ${\displaystyle X_{4}}$ .^[9][10][11]

Tasasivuisella kolmiolla nämä kaikki neljä merkillistä pistettä yhtyvät samaksi pisteeksi.

Klassiset merkilliset pisteet

Klassisiin merkillisiin pisteisiin luetaan antiikin pisteiden lisäksi vielä seuraavat pisteet, jotka huomattiin paljon myöhemmin:^[12]

• Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste ${\displaystyle X_{5}}$ ^[13]
• Symmediaaninen piste${\displaystyle X_{6}}$ (Lemoinen piste) ^[14]
• Gergonnen piste ${\displaystyle X_{7}}$ ^[15]
• Nagelin piste ${\displaystyle X_{8}}$ ^[16]
• Mittenpunkt ${\displaystyle X_{9}}$ ^[17]
• Spiekerin piste ${\displaystyle X_{10}}$ ^[18]
• Feuerbachin piste ${\displaystyle X_{11}}$ ^[19]
• Fermat’n pisteet ${\displaystyle X_{13}}$ ja ${\displaystyle X_{14}}$ ^[20][21]
• Isodynaamiset pisteet ${\displaystyle X_{15}}$ ja ${\displaystyle X_{16}}$ ^[22][23]
• Napoleonin pisteet ${\displaystyle X_{17}}$ ja ${\displaystyle X_{18}}$ ^[24][25]
• Schifflerin piste ${\displaystyle X_{21}}$ ^[26]
• Steinerin piste ${\displaystyle X_{99}}$ ^[27]

• Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 15.4.2013.
• Kimberling, Clark: Clark Kimberling (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)

Viitteet

• Evansvillen yliopisto: Encyclopedia of Triangle Centers