Znamenite točke trikotnika

Znamenita točka trikotnika (tudi posebna ali značilna točka trikotnika ali središče trikotnika) je točka v ravnini, kjer se sekajo posebne premice ali tudi krožnice. Te točke imajo zanimive geometrijske lastnosti.

Prve znamenite točke trikotnika so odkrili že stari Grki, čeprav jih niso nikoli primerno definirali. Za njimi so odkrili še celo vrsto znamenitih točk trikotnika kot so Fermatova točka, simedianska točka, Feuerbachova točka, Gergonnova točka itd. Med porastom zanimanja za geometrijo trikotnika v letih 1980 so opazili, da imajo znamenite točke nekatere zanimive lastnosti, ki dandanes tvorijo osnovo definicije znamenitih točk trikotnika. Vse točke so sedaj zbrane v Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) (Enciklopedija znamenitih točk trikotnika), kjer je bilo 26.maja 2010 navedenih 3587 znamenitih točk trikotnika. Vsako od teh središč (točk) je dobilo svoje enolično ime in oznako, ki jo sestavljata X in kot indeks zaporedna številka iz Enciklopedije. Kadar pa ni bilo možno za točko dati neko zgodovinsko ali geometrijsko ime, so uporabili imena zvezd za poimenovanje posebnih točk trikotnika.

Definicija

Realna funkcija $f\,$ treh spremenljivk $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c\,$ ima naslednje lastnosti:

homogenost $f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)\,$ za poljubno konstanto $n\,$ ter za vse $t>0\,$
bisimetrijo v drugi in tretji spremenljivki $f(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)=f(a,{\text{ }}c,{\text{ }}b)$ .

Kadar ima neničelna funkcija $f\,$ obe zgornji lastnosti, jo imenujemo funkcija znamenite točke trikotnika. Kadar je $f\,$ funkcija znamenite točke trikotnika in so $a,{\text{ }}b,{\text{ }}c$ dolžine stranic pripadajočega trikotnika, potem se točka, ki ima trilinearne koordinate $f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)$ imenuje znamenita točka trikotnika.

Nekatere znane znamenite točke trikotnika

Klasične posebne točke trikotnika

mesto v ETC	ime	oznaka	trilinearni koordinatni sistem
X₁	središče včrtane krožnice	I	1 : 1 : 1
X₂	težišče	G	bc : ca : ab
X₃	središče očrtane krožnice	O	cos A : cos B : cos C
X₄	višinska točka	H	sec A : sec B : sec C
X₅	središče krožnice devetih točk	N	cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B)
X₆	simedianska točka	K	a : b : c
X₇	Gergonnova točka	G_e	bc/(b + c − a) : ca/(c + a − b) : ab/(a + b − c)
X₈	Nagelova točka	N_a	(b + c − a)/a : (c + a − b)/b: (a + b − c)/c
X₉	mittenpunkt	M	b + c − a : c + a − b : a + b − c
X₁₀	Spiekerjeva točka	S_p	bc(b + c) : ca(c + a) : ab(a + b)
X₁₁	Feuerbachova točka	F	1 − cos(B − C) : 1 − cos(C − A) : 1 − cos(A − B)
X₁₃	Fermatova točka	X	csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3) *
X₁₅ X₁₆	izodinamični točki	S S′	sin(A + π/3) : sin(B + π/3) : sin(C + π/3) sin(A − π/3) : sin(B − π/3) : sin(C − π/3)
X₁₇ X₁₈	Napoleonove točke	N N′	sec(A − π/3) : sec(B − π/3) : sec(C − π/3) sec(A + π/3) : sec(B + π/3) : sec(C + π/3)
X₉₉	Steinerjeva točka	S	bc/(b² − c²) : ca/(c² − a²) : ab/(a² − b²)

(*) : to je prvi izogonski center, tudi Fermatova točka, če je A,B,C ≤ 2π/3

Novejše posebne točke trikotnika

V naslednjem delu preglednice so podane novejše posebne točke trikotnika.

mesto (oznaka) v ETC	ime	funkcija znamenite točke f(a,b,c)
X₂₁	1/(cos B + cos C)
X₂₂	Exeterjeva točka	a(b⁴ + c⁴ − a⁴)
X₁₁₁	Parryjeva točka	a/(2a² − b² − c²)
X₁₇₃	tan(A/2) + sec(A/2)
X₁₇₄	Yff središče kongruence	sec(A/2)
X₁₇₅	izoperimetrična točka	− 1 + sec(A/2) cos(B/2) cos(C/2)
X₁₇₉	prva Ajima–Malfattijeva točka	sec⁴(A/4)
X₁₈₁	Apolonijeva točka	a(b + c)²/(b + c − a)
X₁₉₂	točka enakih vzporednic	bc(ca + ab − bc)
X₃₅₆	Morleyjevo središče	cos(A/3) + 2 cos(B/3) cos(C/3)
X₃₆₀	Hofstadterjeva točka	A/a
X₄₀₁	Baileyjeva točka	[sin(2B) sin(2C) − sin²(2A)] csc A

.

Splošne oblike znamenitih točk trikotnika

Kinberlingova znamenita točka

Clark Kimberling (rojen 1942) je pripravil enciklopedijo več kot 3500 znamenitih točk trikotnika. Te točke v njegovo čast imenujemo Kimberlingove znamenite točke ^[1].

Polinomska znamenita točka

Znamenita točka trikotnika se imenuje polinomska znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate točke izrazimo kot polinom koordinat a, b in c.

Glavne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika se imenuje glavna znamenita točka trikotnika, če lahko trilinearne koordinate izrazimo v obliki $f(A):f(B):f(C)$ tako, da je $f(A)$ funkcija vrednosti A. Podobno velja za $f(B)$ in $f(C)$ ^[2]

Običajne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika se imenuje običajna znamenita točka trikotnika, kadar trilinearne koordinate lahko izrazimo kot polinome vrednosti Δ, a, b in c, kjer je Δ ploščina trikotnika

Transcendentne znamenite točke

Znamenita točka trikotnika je transcendentna znamenita točka, če točke ne moremo predstaviti s trilinearnimi koordinatami oziroma samo z uporabo algebrskih funkcij za $(a,{\text{ }}b,{\text{ }}c)\,$ .

Opombe in sklici

Zunanje povezave

Posebna točka trikotnika na MathWorld (angleško)
Enciklopedija središč trikotnika (angleško)
Središča trikotnika na MathWorld (angleško)
Središča trikotnika Arhivirano 2010-06-20 na Wayback Machine. na PlanetMath (angleško)
Središča trikotnika (angleško)

[1]

[2]

Search