Équation de Sackur-Tetrode

L'équation de Sackur-Tetrode, établie en 1912^[1] par les physiciens Otto Sackur^[2] et Hugo Tetrode^[3],[4], donne l'entropie d'un gaz parfait monoatomique, non-dégénéré, non-relativiste.

Soit ${\displaystyle \Lambda }$ la longueur d'onde thermique de de Broglie : ${\displaystyle \Lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mkT}}}}$, et ${\displaystyle \Lambda ^{3}=V_{0}}$ le volume correspondant.

Alors, l'entropie S = S(U,V,N) du gaz (défini par son volume V, son énergie interne U et son nombre de particules N) vaut :

${\displaystyle {\frac {S}{kN}}=\ln \left[{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right]+{\frac {5}{2}}}$

soit en développant :

${\displaystyle S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {3}{2}}kN\left({\frac {5}{3}}+\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)}$.

Les expressions ci-dessus supposent que le gaz est dans le régime classique et est décrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann (avec le "décompte correct de Boltzmann"). D'après la définition de la longueur d'onde thermique, cela signifie que l'équation de Sackur-Tetrode est valable uniquement quand :

${\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1}$

L'entropie prédite par l'équation de Sackur-Tetrode tend vers moins l'infini quand la température tend vers zéro.

En chimie, on préfère parfois retenir plutôt l'enthalpie libre G = U + NkT -TS = -NkT. Ln P/P(T) avec P(T) = kT/Vo :

G =-RT.LnP + cste(T) est le fondement de la loi d'action de masse :

on obtient ainsi les ordres de grandeur des constantes d'équilibre Kp(T) des réactions.