Anneau local

Pour tout anneau A, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• A est local ;
• ses éléments non inversibles forment un idéal (qui sera alors l'idéal maximal de A^[1] et coïncidera avec son radical de Jacobson) ;
• ses éléments non inversibles appartiennent à un même idéal propre^[2] ;
• pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible^[1],[2] ;
• pour tout élément a de A, soit a soit 1 – a est inversible à gauche^[1],[2] ;
• il existe un idéal maximal M tel que pour tout élément a de M, 1 + a est inversible^[3].

Le quotient d'un anneau local A par son unique idéal maximal s'appelle le corps résiduel de A.

Un homomorphisme d'anneaux locaux ${\displaystyle f:A\to B}$ est un morphisme d'anneaux qui envoie l'idéal maximal de ${\displaystyle A}$ dans celui de ${\displaystyle B}$ .

Remarque : Pour certains auteurs^[4], un anneau ayant un unique idéal maximal est appelé quasi-local, réservant ainsi le nom d'anneaux locaux aux anneaux quasi-locaux noethériens. Mais cette convention est peu répandue.

• Pour tout nombre premier p et tout entier n ≥ 1, l'anneau ℤ/pⁿℤ est local (d'idéal maximal constitué des multiples de p).
• Plus généralement, un anneau non nul dans lequel tout élément non inversible est nilpotent est local^[5] (et l'idéal maximal est le seul idéal premier).
• Les anneaux principaux locaux sont :
  • les corps commutatifs (d'idéal maximal nul) ;
  • les anneaux de valuation discrète, comme l'ensemble ℤ_(p) des rationnels de dénominateur non divisible par un nombre premier p fixé (d'idéal maximal pℤ_(p)).
• Plus généralement, tout anneau de valuation est local.
• L'anneau des germes des fonctions holomorphes à n variables à l'origine (0,…,0) est un anneau local dont l'idéal maximal est constitué des germes de fonctions holomorphes nulles à l'origine. On peut aussi remplacer les fonctions holomorphes par les fonctions de classe C^k pour un entier naturel fixé k.

Le procédé de localisation fait apparaître de façon naturelle des anneaux locaux. En effet, si P est un idéal premier de A, alors le localisé A_P de A par rapport à la partie multiplicative A \ P est un anneau local, d'idéal maximal engendré par l'image de P dans A_P. L'exemple ℤ_(p) ci-dessus est la localisation de ℤ en l'idéal premier pℤ.

Le quotient d'un anneau local par un idéal propre est encore un anneau local.

Pour tout anneau local A et tout ensemble I, l'anneau A[[(X_i)_i∈I]] des séries formelles en les X_i et à coefficients dans A est local (d'idéal maximal engendré par les X_i et l'idéal maximal de A).

Dans un anneau local, tout idéal inversible est principal^[6].

Tout anneau intègre local et de Prüfer (en) est un anneau de valuation^[7].

Dans un anneau local, les seuls idempotents sont 0 et 1^[8].

Un anneau commutatif unitaire est appelé un anneau semi-local (en) s'il ne possède qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. La somme directe d'un nombre fini d'anneaux locaux est semi-locale. Si ${\displaystyle S}$ est le complémentaire de la réunion d'un nombre fini d'idéaux premiers ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{n}}$ dans un anneau commutatif unitaire ${\displaystyle A}$ , alors le localisé ${\displaystyle S^{-1}A}$ est semi-local. Ses idéaux maximaux sont les idéaux engendrés par les images des ${\displaystyle P_{i}}$ (on ne garde que les ${\displaystyle P_{i}}$ contenus dans aucun autre ${\displaystyle P_{j}}$ ).