Anel local

Em matemática, um anel local^[1] é um anel com um único ideal maximal. Neste caso se ${\displaystyle A}$ é um anel local e m é seu ideal maximal então o quociente ${\displaystyle k=A/m}$ é um corpo, chamado de corpo residual de ${\displaystyle A}$.

Por exemplo, todo corpo é um anel local cujo ideal maximal é o ideal nulo. Mas nem todo anel local é corpo, por exemplo o anel das séries de potências formais ${\displaystyle \mathbb {R} [[x]]}$ é um anel local com ideal maximal o ideal gerado por ${\displaystyle x}$ e não é corpo pois ${\displaystyle x}$ não é nulo e mesmo assim não é invertível.

Anéis locais são comparativamente simples, e servem para descrever o que é chamado de "comportamento local", no sentido de funções definidas sobre variedades algébricas ou variedades, ou de corpo numérico algébrico examinado em um local ou primo. Álgebra local é o campo da álgebra comutativa que estuda anéis locais e seus módulos.

O conceito de anéis locais foi introduzido por Wolfgang Krull em 1938 sob o nome em alemão Stellenringe.^[2] O nome em inglês local ring, de onde deriva esta nomenclatura em português, é devido a Oscar Zariski.^[3]