Espace de Schwartz
En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.
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Définition
Une fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à
sont dites déclinantes.
Pour deux multi-indices , on définit les semi-normes
par
où est la dérivée d'ordre
de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme
.
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre .
Propriétés
Topologie
L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes
définie par :
L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.
La convergence d'une suite de se définit donc de la manière suivante.Une suite de fonctions
converge dans
vers une fonction
si
et si
Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées .
Exemples
- L'espace
contient l'espace
des fonctions C∞ à support compact. Cet espace, aussi noté
, est dense dans
au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
- Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
pour tout multi-indice α et tout réel
.
- L'espace
est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L∞. En effet, le complété de
pour la norme
est l'espace
des fonctions continues nulles à l'infini.
Opérations sur l'espace de Schwartz
- L'espace
est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
- L'espace
est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de
En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction
de
, l'opérateur défini par
est continu de
dans lui-même.
On définit l'espace des multiplicateurs de
comme le sous-ensemble des fonctions de
dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.
On appelle l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.
- La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de
. Cet automorphisme
est donné par
où
L'automorphisme inverse est
donné par
Le théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit
de la structure préhilbertienne induite par
la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de
dans lui-même.
- La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec
: pour toute distribution à support compact
et fonction de Schwartz
on a
- Plus généralement, on note
l'ensemble des convoleurs de
c'est-à-dire l'ensemble des distributions
telles que
envoie continûment
dans
Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de
(c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle
l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution,
est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle
et
sont des modules unitaires.
Bibliographie
- (en) Harish-Chandra, « Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters », Acta Math., vol. 116, , p. 1-111
- Laurent Schwartz, « Théorie des distributions et transformation de Fourier », Annales de l'université de Grenoble, vol. 23, 1947-1948, p. 7-24 (lire en ligne)
- Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, , 418 p. (ISBN 2-7056-5551-4)
- François Golse, Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles, École polytechnique, 2012, polycopié de cours
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Function », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Space », sur MathWorld