Przestrzeń Schwartza

Ideą stojącą za przestrzeniami Schwartza jest stworzenie zbioru wszystkich funkcji gładkich w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ których pochodne szybko maleją do zera. Możemy tego dokonać przez rozważenie wszystkich możliwych pochodnych cząstkowych ${\displaystyle D^{\alpha }f=\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\ldots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}f}$ (gdzie ${\displaystyle \alpha }$ oznacza wielowskaźnik) na gładkiej funkcji o wartościach zespolonych ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ i wzięcie supremum wszystkich możliwych wartości ${\displaystyle D^{\alpha }f}$ pomnożonych przez dowolny jednomian ${\displaystyle x^{\beta }}$ i żądając, aby supremum było ograniczone. Ściślej możemy zapisać to w postaci:

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|x^{\beta }D^{\alpha }f|<\infty .}$

Warto zwrócić uwagę, że gdybyśmy wymagali tylko ograniczenia pochodnych, to znaczy:

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|D^{\alpha }f|<\infty ,}$

wynikałoby z tego, że wszystkie możliwe pochodne funkcji gładkiej muszą być ograniczone pewną stałą ${\displaystyle c_{\alpha },}$ czyli:

${\displaystyle \sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|D^{\alpha }f|=c_{\alpha }<\infty .}$

Na przykład dla gładkiej funkcji o wartościach zespolonych ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )}$ danej wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ mamy ${\displaystyle D^{1}f(x)=2x,}$ co jest funkcją nieograniczoną, więc żaden wielomian nie należy do tej przestrzeni. Jeżeli jednak dodatkowo będziemy wymagać pierwotnej nierówności (tj. z jednomianem ${\displaystyle x^{\beta }}$ ), to wynik ten jest jeszcze silniejszy, ponieważ implikuje nierówność

${\displaystyle D^{\alpha }f<{\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}}$ dla każdego ${\displaystyle \beta }$ i pewnych stałych ${\displaystyle k_{\alpha ,\beta },}$

gdyż

${\displaystyle x^{\beta }\cdot D^{\alpha }f<x^{\beta }\cdot {\frac {k_{\alpha ,\beta }}{x^{\beta }}}=k_{\alpha ,\beta }.}$

Świadczy to o tym, że tempo wzrostu wszystkich pochodnych funkcji ${\displaystyle f}$ musi być znacznie mniejsze niż odwrotność dowolnego jednomianu.

Niech ${\displaystyle \mathbb {N} }$ będzie zbiorem liczb naturalnych (z zerem) i ustalmy ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ Przestrzeń Schwartza lub inaczej przestrzeń funkcji szybko malejących na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ jest przestrzenią funkcji:

${\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} \right):=\left\{f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )\mid \forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n},\|f\|_{\alpha ,\beta }<\infty \right\},}$

gdzie ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} )}$ jest przestrzenią funkcji gładkich z ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ do ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a do tego:

${\displaystyle \|f\|_{\alpha ,\beta }:=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }(D^{\beta }f)(x)\right|.}$

• Jeśli ${\displaystyle \alpha }$ jest wielowskaźnikiem, a ${\displaystyle a}$ jest dodatnią liczbą rzeczywistą, to

${\displaystyle x^{\alpha }e^{-a|x|^{2}}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

• Każda funkcja gładka ${\displaystyle f}$ o zwartym nośniku należy do ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).}$ Jest to oczywiste, ponieważ każda pochodna ${\displaystyle f}$ jest ciągła i ma ten sam, zwarty nośnik co ${\displaystyle f,}$ więc ${\displaystyle \left|x^{\beta }D^{\alpha }f\right|}$ ma maksimum na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ gdyż każda funkcja ciągła na zbiorze zwartym przyjmuje swoje maksimum.
• Ponieważ przestrzeń Schwartza jest przestrzenią liniową, dowolny wielomian ${\displaystyle \phi (x^{\alpha })}$ można pomnożyć przez współczynnik ${\displaystyle e^{-ax^{2}}}$ dla dowolnej stałej ${\displaystyle a>0,}$ aby otrzymać element przestrzeni Schwarza. W szczególności istnieje zanurzenie przestrzeni wielomianów na ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ w przestrzeni Schwartza.

• Ze wzoru Leibniza wynika, że ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ jest zamknięte na mnożenie punktowe – jeśli ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ to także iloczyn ${\displaystyle fg\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).}$

• Transformacja Fouriera zadaje liniowy izomorfizm ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\to {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).}$

• Jeśli ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),}$ to ${\displaystyle f}$ jest jednostajnie ciągła na ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• Jeśli ${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant \infty ,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\subseteq L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).}$
• Jeśli ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,}$ to ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ jest gęsty w ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right).}$
• Przestrzeń wszystkich funkcji gładkich o nośniku zwartym ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ jest zawarta w ${\displaystyle {\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right),}$ a nawet jej gęstym podzbiorem.

• L. Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators I (Distribution theory and Fourier Analysis). Wyd. 2nd. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 3-540-52343-X. Brak numerów stron w książce
• M. Reed, B. Simon: Methods of Modern Mathematical Physics: Functional Analysis I. Wyd. Revised and enlarged. San Diego: Academic Press, 1980. ISBN 0-12-585050-6. Brak numerów stron w książce
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction (Princeton Lectures in Analysis I). Princeton: Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-11384-X. Brak numerów stron w książce