En mathématiques, la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique. Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 [1].
Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par :
.
Obtention de cette moyenne
Étant donné une fonction dérivable sur un intervalle , de dérivée strictement monotone sur , il existe, d'après le théorème des accroissements finis, un unique réel dans l'intervalle tel que (qui est la valeur moyenne de sur )
La moyenne de Stolarsky est précisément égale à
lorsqu'on prend .
Propriétés
est bien une moyenne, car comprise entre a et b. De plus on peut prolonger par continuité à l'ensemble des réels, ce qui donne une fonction croissante.
On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées. On obtient :
avec .
Pour une fonction quelconque
La définition pour est possible dès que la fonction est strictement convexe et dérivable sur . On a vu ci-dessus les cas .
Pour , on a dont on peut noter qu'elle n'est pas homogène [2].
D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type [2].
Moyennes bi-paramétriques
On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par[3]: