במתמטיקה , ממוצע סטולרסקי הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים . ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני , הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי .
בהינתן שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} p ≠ 0 , 1 {\displaystyle p\neq 0,1} ממוצע סטולרסקי מחזקה p {\displaystyle p} מוגדר להיות:[1]
S p ( a , b ) := { a if a = b ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 otherwise {\displaystyle S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975 .[2]
מוטיבציה תכונות סימטריות ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי :
S p ( a , b ) = ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( − 1 − 1 ⋅ a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( b p − a p p ( b − a ) ) 1 p − 1 = S p ( b , a ) {\displaystyle S_{p}(a,b)=\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=S_{p}(b,a)}
מונוטוניות ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן a 1 ≤ a 2 {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}} b 1 ≤ b 2 {\displaystyle b_{1}\leq b_{2}} S p ( a 1 , b 1 ) ≤ S p ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle S_{p}(a_{1},b_{1})\leq S_{p}(a_{2},b_{2})}
הומוגניות ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני . כלומר, לכל a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} α > 0 {\displaystyle \alpha >0}
S p ( α a , α b ) = ( ( α a ) p − ( α b ) p p ( α a − α b ) ) 1 p − 1 = ( α p − 1 a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = α ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = α S p ( a , b ) {\displaystyle S_{p}(\alpha a,\alpha b)=\left({\frac {(\alpha a)^{p}-(\alpha b)^{p}}{p(\alpha a-\alpha b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left(\alpha ^{p-1}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha \left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha S_{p}(a,b)}
רציפות ממוצע סטולרסקי S p ( x , y ) {\displaystyle S_{p}(x,y)} רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן x ≠ y {\displaystyle x\neq y} x = y {\displaystyle x=y} גבול :
lim x → y x p − y p x − y = p y p − 1 {\displaystyle \lim _{x\to y}{\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=py^{p-1}}
כדי לקבל ש:
lim x → y S p ( x , y ) = lim x → y ( x p − y p p ( x − y ) ) 1 p − 1 = ( p y p − 1 p ) 1 p − 1 = y = S p ( y , y ) {\displaystyle \lim _{x\to y}{S_{p}(x,y)}=\lim _{x\to y}{\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {py^{p-1}}{p}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=y=S_{p}(y,y)}
מקרים פרטיים p שואף לאינסוף ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
lim p → ∞ S p ( a , b ) = max ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{S_{p}(a,b)}=\max(a,b)}
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } מקסימום של a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} S ∞ ( a , b ) := max ( a , b ) {\displaystyle S_{\infty }(a,b):=\max(a,b)}
p=2 במקרה שבו p = 2 {\displaystyle p=2}
S 2 ( a , b ) = ( a 2 − b 2 2 ( a − b ) ) 1 2 − 1 = ( a − b ) ( a + b ) 2 ( a − b ) = a + b 2 {\displaystyle S_{2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}}\right)^{\frac {1}{2-1}}={\frac {(a-b)(a+b)}{2(a-b)}}={\frac {a+b}{2}}}
זהו למעשה הממוצע החשבוני.
p=1 על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור p = 1 {\displaystyle p=1}
lim p → 1 S p ( a , b ) = 1 e a a b b a − b {\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}
ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי . על כן, ניתן להגדיר כי S 1 {\displaystyle S_{1}}
הוכחה מגדירים:
L = lim p → 1 S p ( a , b ) = lim p → 1 ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 {\displaystyle L=\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 1}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}}
על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:
ln L = lim p → 1 ln ( a p − b p ) − ln ( p ) − ln ( a − b ) p − 1 = lim p → 1 ln a ⋅ a p − ln b ⋅ b p a p − b p − 1 p = a ln a − b ln b a − b − 1 {\displaystyle \ln L=\lim _{p\to 1}{\frac {\ln(a^{p}-b^{p})-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}=\lim _{p\to 1}{{\frac {\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}}{a^{p}-b^{p}}}-{\frac {1}{p}}}={\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1}
על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:
lim p → 1 S p ( a , b ) = L = exp ( a ln a − b ln b a − b − 1 ) = 1 e a a b b a − b {\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=L=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}}
מש"ל .
p=0 גם במקרה p = 0 {\displaystyle p=0}
lim p → 0 S p ( a , b ) = a − b ln a − ln b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי . על כן, ניתן להגדיר כי S 0 {\displaystyle S_{0}}
הוכחה על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:
lim p → 0 a p − b p p = lim p → 0 ( ln a ⋅ a p − ln b ⋅ b p ) = ln a − ln b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}\right)}=\ln a-\ln b}
לכן:
lim p → 0 S p ( a , b ) = lim p → 0 ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( ln a − ln b a − b ) 1 0 − 1 = a − b ln a − ln b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {\ln a-\ln b}{a-b}}\right)^{\frac {1}{0-1}}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}}
מש"ל .
p=-1 במקרה שבו p = − 1 {\displaystyle p=-1}
S − 1 ( a , b ) = ( a − 1 − b − 1 − 1 ⋅ ( a − b ) ) 1 − 1 − 1 = ( 1 a − 1 b − 1 ⋅ ( a − b ) ) − 1 2 = ( b − a a b − 1 ⋅ ( a − b ) ) − 1 2 = a b {\displaystyle S_{-1}(a,b)=\left({\frac {a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{\frac {1}{-1-1}}=\left({\frac {{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left({\frac {\frac {b-a}{ab}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {ab}}}
זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.
p שואף למינוס אינסוף ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} b {\displaystyle b}
lim p → − ∞ S p ( a , b ) = min ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{S_{p}(a,b)}=\min(a,b)}
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p → − ∞ {\displaystyle p\to -\infty } a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} S − ∞ ( a , b ) := min ( a , b ) {\displaystyle S_{-\infty }(a,b):=\min(a,b)}
קישורים חיצוניים הערות שוליים 
