Repère projectif
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En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :
Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :
Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kn+1 (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine.
Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension associé. On veut donc choisir une base
de cet espace, et considérer les points
comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées
dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur
qui définit un unique point
dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif
, on ne peut pas retrouver les vecteurs
qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme
. Si l'on considère le nouveau vecteur
, celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à
, et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les
sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points
une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs
comme ci-dessus à vérifier
. Pour cela, on impose une contrainte sur la somme
qui doit être colinéaire à la somme
choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux
le point
, et alors tout choix de
vérifiant
permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées
comme indiqué ci-dessus[1].