טריגונומטריה ספירית

המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית:

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ${\displaystyle \ a}$ ו-${\displaystyle \ b}$ , ואורך היתר הוא ${\displaystyle \ c}$ , אז ${\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:${\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)}$ .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה ${\displaystyle \cos {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...}$
כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים:${\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)}$ .
לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם ${\displaystyle 2R^{2}\,}$ , מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$ את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}$ .

הוכחת המשפט:

את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא:הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X.במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן:${\displaystyle B(R,0,0)\,}$ ,${\displaystyle C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,}$ , ${\displaystyle A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,}$ .

את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא:${\displaystyle \cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b')}$ .

הצבת השוויונות: ${\displaystyle a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,}$ במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: ${\displaystyle \cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right)}$ .

הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה ${\displaystyle \gamma =90^{0}}$ .

משפט הסינוסים

משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן ${\displaystyle \ a,b,c}$ והזוויות שמולן הן ${\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma }$ בהתאמה, מתקיים: ${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }}$ .

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: ${\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {a}{R}}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac {b}{R}}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac {c}{R}}}{\sin \gamma }}}$ .

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה ${\displaystyle \sin {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,}$ .

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$  : ${\displaystyle {\frac {{\tfrac {a}{R}}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac {b}{R}}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac {c}{R}}+...}{\sin \gamma }}}$ .

לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית:${\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }}$ .

הוכחת המשפט:

האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D.האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה.

אזי ${\displaystyle AF\perp OC}$ , ${\displaystyle AE\perp OB}$ וגם ${\displaystyle \angle {AED}=\beta }$ , ${\displaystyle \angle {AFC}=\gamma }$ .

במשולש AED מתקיים: ${\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}}}$ ובמשולש AFD מתקיים: ${\displaystyle \sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}}$ ולכן ${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}}$ .

במשולש AOE מתקיים: ${\displaystyle \sin {c'}={\tfrac {AE}{R}}}$ ובמשולש AOF מתקיים: ${\displaystyle \sin {b'}={\tfrac {AF}{R}}}$ .

לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים:${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}}}$ ,כלומר:${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {\frac {b}{R}}}{\sin {\frac {c}{R}}}}}$ .

משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן ${\displaystyle \ a,b,c}$ והזוויות שמולן הן ${\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma }$ בהתאמה, מתקיים: ${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא:${\displaystyle \,\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma }$ .

(עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: ${\displaystyle \,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac {c}{R}}}$ ).

כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות ${\displaystyle \cos {\alpha },\sin {\alpha }\,}$ לטור מקלורן: ${\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...}$ , ${\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,}$ .

כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים:${\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right)}$ .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם ${\displaystyle 2R^{2}\,}$ , מקבלים כאשר רדיוס הכדור ${\displaystyle \,R\to \infty }$ את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית: ${\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$ .

מדיה וקבצים בנושא טריגונומטריה ספירית בוויקישיתוף

• טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית)
• טריגונומטריה ספרית, דף שער בספרייה הלאומית