משפט התיכון

נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם ${\displaystyle \angle ABC>{\frac {\pi }{2}}}$ אז p<0)

במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: ${\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2p\cdot BC}$

נעביר אגפים, ונקבל: ${\displaystyle 2p\cdot BC=AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}$

במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: ${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD}$

נציב ${\displaystyle BD={\frac {BC}{2}}}$ , ונקבל: ${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC}$

נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: ${\displaystyle 2p\cdot BC=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}}$

על פי כלל המעבר, נקבל: ${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}}$

לאחר העברת אגפים, נקבל: ${\displaystyle 2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}}$

נסמן ${\displaystyle AB=a,AC=b,BC=c}$ . כמו כן נסמן ${\displaystyle AD=x}$

אם ${\displaystyle a=b}$ , המשולש שווה שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס.

אחרת, ${\displaystyle a\neq b}$ , נחשב את שטח המשולש ${\displaystyle \Delta ABD}$ לפי נוסחת הרון:

${\displaystyle S_{\Delta ABD}={\sqrt {{\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-x{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-a{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-{\frac {c}{2}}{\Bigl )}}}=}$

${\displaystyle {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})+x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})-x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x-(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}}}=}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {{\Bigl (}(a+{\frac {c}{2}})^{2}-x^{2}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}x^{2}-(a-{\frac {c}{2}})^{2}{\Bigl )}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}$

נחשב את שטח המשולש ${\displaystyle \Delta ACD}$ ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה:

${\displaystyle S_{\Delta ACD}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}$

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר ${\displaystyle S_{\Delta ABD}=S_{\Delta ACD}}$ . נשווה ביניהם ונמצא את ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}}$

נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע:

${\displaystyle -x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}=-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}$

נסדר את המשוואה:

${\displaystyle x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}-2b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}$

${\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}-(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}+(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}}$

${\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}=(a^{2}-b^{2})\cdot {\Bigl (}a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}}$

נצמצם ב ${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי ${\displaystyle a\neq b}$ ) ונקבל את התוצאה: ${\displaystyle 2x^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}}$