アポロニウスの定理

スチュワートの定理の特殊な場合として、あるいはベクトルを用いて証明することができる。以下の証明は余弦定理を用いたものである^[1]。

任意の三角形の三辺の長さを${\displaystyle a,b,c}$ として、${\displaystyle a}$ の中線の長さを${\displaystyle d}$ とする。また、中線に二分された線分の長さを${\displaystyle m}$ とする（${\displaystyle m}$ は${\displaystyle a}$ の半分）。

さらに、${\displaystyle a}$ と${\displaystyle d}$ による角の大きさを${\displaystyle \theta }$ と${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ とし、${\displaystyle \theta }$ は${\displaystyle b}$ の対角、${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ は${\displaystyle c}$ の対角とする。すなわち、${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ は${\displaystyle \theta }$ の補角であり、 ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta }$ となる。

このとき、余弦定理より、

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}}$$

第一式と第三式の辺々を加えると

$${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$$

以上より、定理が証明された。

• Three Proofs of Apollonius Theorem by HC Rajpoot from Academia.edu

• Apollonius Theorem - PlanetMath.（英語）
• David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. p. 27