הוכחה: נניח ש- פשוטה למחצה. נוכיח כי אידיאל פתיר, ולכן אפס. יהיו , מתקיים . זה נכון בפרט ל-, ולכן לפי קריטריון קרטן פתיר.
בכיוון ההפוך, נניח ש- רגולרית, כלומר . תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של פשוטה למחצה הוא שכל אידיאל אבלי (אידיאל המקיים ) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה בסדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).
אם כן יהי אידיאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו , נביט במיפוי . אזי המיפוי בריבוע הוא , לכן איבר נילפוטנטי, ולכן . כלומר , ולכן הוא אפס.
דוגמה
כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה פשוטה למחצה.
אכן, לפי הבסיס הסטנדרטי , המטריצה המייצגת היא שהיא מטריצה הפיכה (במאפיין שאיננו 2).
זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).