Форма Киллинга

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана»^[1].

Рассмотрим алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ над полем ${\displaystyle K}$ .Каждый элемент ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ определяет эндоморфизм ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon z\mapsto [x,z],}$

где ${\displaystyle [{*},{*}]}$ — скобка Ли.Предположим, что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

${\displaystyle B(x,y)=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{x}\circ \mathrm {ad} _{y})}$

со значениями в ${\displaystyle K}$ . Эта форма ${\displaystyle B}$ и называется формой Киллинга на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ^[2].

• Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
• Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть

  ${\displaystyle B([x,y],z)=B(x,[y,z]),}$

где ${\displaystyle [{*},{*}]}$ — скобка Ли.

• Если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ пропорциональна форме Киллинга.
• Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть

  ${\displaystyle B(s(x),s(y))=B(x,y)}$

где ${\displaystyle s\in Aut({\mathfrak {g}})}$ .

• В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с ${\displaystyle B}$ в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.

• Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
• Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
• Если ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$ — два идеала в алгебре Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ с нулевым пересечением, тогда ${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle J}$   образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
• Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
• Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.^[3]

• Инвариант Казимира