Schwarzschild-metrika
Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.
Történet
A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.[1]
Schwarzschild az eredeti megoldásban[2] más R koordinátát használt .[3] A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.[4]
A Schwarzschild metrika
Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild metrika alakja:
ahol:
- τ a saját idő
- c a fénysebesség
- t az idő koordináta
- r a radiális koordináta
- θ és φ a két szögkoordináta
- rs a Schwarzschild-sugár ami a tömeggel M kifejezve rs = 2GM/c2, ahol G a gravitációs állandó.[5]
Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.[6]
A Schwarzschild metrika izotrop koordinátázása
A metrikát felírhatjuk az Eddington[7] féle izotrop koordinátakban (r ≥ 2GM/c2[8]).
Az
radiális koordináta helyett az r1-et használva
ahol az x, y, z izotróp koordináták
és
így a metrika
Fekete lyuk megoldások
Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[9] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.
Nem forgó (J = 0) | Forgó (J ≠ 0) | |
Töltés nélküli (Q = 0) | Schwarzschild | Kerr-metrika |
Elektromosan töltött (Q ≠ 0) | Reissner–Nordström-metrika | Kerr–Newman metrika |
A metrika más alakjai
- Lemaitre koordináták
- Eddington–Finkelstein koordináták
- Kruskal–Szekeres koordináták
- Novikov koordináták
- Gullstrand–Painlevé koordináták
Jegyzetek
Irodalom
- Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
- Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
- Flamm, L (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift 17, 448–?. o.
- Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (Second Edition), (1975) McGraw-Hill New York; ISBN 0-07-000423-4. 6. fejezet.
- Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. 12. fejezet.
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 31-32. fejezet.
- Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, (1972) John Wiley & Sons, New York; ISBN 0-471-92567-5. 8. fejezet.