Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01.4

Konstanta e pertama kali berasal dari tabel apendiks yang memuat karya tentang logaritma oleh John Napier, yang diterbitkan pada tahun 1618. Namun tabel tersebut tidak memuat konstanta itu sendiri, melainkan hanya memuat sebuah daftar logaritma yang dihitung dari konstanta tersebut. Hal ini diasumsikan bahwa tabel apendiks tersebut ditulis oleh William Oughtred.^[3]

Penemuan konstanta itu sendiri dikaitkan dengan Jacob Bernoulli pada tahun 1683,^[7][8] yang mencoba mencari nilai dari bentuk ekspresi berikut (yang sama dengan e):

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Penggunaan konstanta pertama kali ini, yang diwakili melalui huruf b, merupakan isi surat dari Gottfried Leibniz kepada Christiaan Huygens pada tahun 1690 dan 1691.^[9] Leonhard Euler memperkenalkan huruf e sebagai bilangan pokok logaritma alami, yang ditulis dalam surat kepada Christian Goldbach pada 25 November 1731.^[10][11] Euler mulai menggunakan hurufe sebagai konstanta dalam sebuah makalah yang tidak diterbikan tentang gaya ledakan pada meriam pada akhir tahun 1727 atau awal tahun 1728,^[12] sementara e pertama kali muncul dalam terbitan makalah Euler yang berjudul Mechanica (1736).^[13]

Jacob Bernoulli menemukan konstanta ini pada tahun 1683, saat ia mempelajari pertanyaan tentang bunga majemuk:^[14]

Sebuah akun dimulai dengan $1.00 dan membayar 100 persen bunga per tahun. Jika bunganya dikredit sekali pada akhir tahun, maka harga akun pada akhir tahun akan bernilai $2.00. Apa yang terjadi jika bunganya dihitung dan dikreditkan lebih sering selama setahun?

Jika dianalisa bahwa bunga dikreditkan dua kali dalam setahun, maka kelajuan bunga selama 6 bulan adalah 50%, sehingga akun yang dimulai dengan $1 yang dikalikan dengan 1,5 sebanyak dua kali, menghasilkan $1.00 × 1.5² = $2.25 pada akhir tahun. Bunga majemuk triwulanan menghasilkan $1.00 × 1.25⁴ = $2.4414..., dan bunga majemuk bulanan menghasilkan $1.00 × (1 + 1/12)¹² = $2.613035… Jadi, jika ada n interval pemajemukkan, maka bunga untuk setiap interval akan mencapai 100%/n dan nilai pada akhir tahun akan mencapai $1.00 × (1 + 1/n)ⁿ.

Bernoulli memperhatikan bahwa barisan ini mendekati sebuah batas (laju bunga) dengan bilangan yang lebih besar n dan interval pemajemukkan menjadi lebih kecil. Bunga majemuk mingguan (n = 52) menghasilkan $2.692597..., sedangkan bunga majemuk harian (n = 365) menghasilkan $2.714567... (kira-kira dua sen lebih). Ketika n tumbuh menjadi besar, maka limit merupakan bilangan yang dikenal sebagai e. Artinya, saat pemajemukan berlanjut, nilai akunnya akan mencapai $2.718281828.... Lebih umumnya, akun yang dimulai dari $1 dan menawarkan laju bunga tahunan R setelah t tahun akan menghasilkan e^Rt dolar dengan memajemukan berlanjut, dengan R adalah bilangan ekuivalen desimal dari kelajuan bunga yang dinyatakan sebagai persentase; jadi untuk bunga 5%, R = 5/100 = 0.05.

Bilangan e juga mempunyai penerapan dalam teori probabilitas, namun agak berkaitan dengan pertumbuhan eksponensial. Misalkan ada seorang penjudi bermain mesin slot that pays out with a probability of one in n and plays it n times. Maka, peluang seorang penjudi akan kalah setiap bertaruh untuk bilangan besar n kira-kira sama dengan 1/e. Untuk n = 20, peluangnya kira-kira sudah sama dengan 12,79.

Contoh di atas merupakan proses percobaan Bernoulli. Setiap kali penjudi bermain mesin slot, maka peluang untuk menang adalah satu per n. Memainkan sebanyak n kali dimodelkan dengan distribusi binomial, yang sangat berkaitan dengan teorema binomial dan segitiga Pascal. The probability of winning k times out of n trials is:

${\displaystyle {\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

Secara khusus, peluang menang sebanyak nol kali, dengan kata lain, k = 0, sama dengan

${\displaystyle \left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Limit dari ekspresi di atas, ketika n menuju ke takhingga, tepat bernilai 1/e.

Sebaran normal dengan rata-rata dan simpangan baku satuan bernilai nol dikenal sebagai sebaran normal baku, dinyatakan dengan fungsi kepadatan probabilitas

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$

Batas dari varians satuan (dan juga simpangan bakuan standar) menghaslikan e yang dipangkatkan dengan 12, dan batas dari luas total satuan terhadap kurva ${\displaystyle \phi (x)}$ menghasilkan faktor dari ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ .^[bukti] Fungsi tersebut simetrik di sekitar x = 0, yang mencapai nilai maksimum ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ serta mempunyai titik infleksi di x = ±1.

Bilangan e seringkali berhubungan dengan banyak masalah yang melibatkan asimtotik. Contohnya adalah rumus Stirling, rumus yang melibatkan fungsi faktorial secara asimotitk, dengan bilangan e dan π muncul pada rumus:

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Akibatnya,

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$

Alasan utama dalam memperkenalkan e, khususnya dalam kalkulus, adalah menghitung kalkulus diferensial dari fungsi eksponensial dan integral dari logaritma.^[15] Umumnya, fungsi eksponensial ${\displaystyle y=a^{x}}$ memiliki turunan yang didefinisikan melalui limit:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right)}$ .

Limit yang dikurung pada ruas kanan bebas terhadap variabel ${\displaystyle x}$ . Nilai tersebut menjadi logaritma dari a dengan basis e. Jadi, ketika nilai ${\displaystyle a}$ adalah ${\displaystyle e}$ , nilai limitnya sama dengan 1, sehingga diperoleh identitas sederhana berikut:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ .

Karena itu, fungsi eksponensial dengan basis e sangat cocok dalam kalkulus. Dengan memilih e (sebagai lawan bilangan-bilangan lainnya yang merupakan basis fungsi eksponensial) dapat membuat perhitungan yang melibatkan turunan semakin lebih mudah.

Alasan lainnya berasal dari meninjau turunan dari logaritma basis a (yaitu, ${\displaystyle ^{a}\!\log x}$ ),^[16] untuk ${\displaystyle x>0}$ :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,^{a}\!\log x=\lim _{h\to 0}{\frac {^{a}\!\log(x+h)-\,^{a}\!\log(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {^{a}\!\log(1+{\frac {h}{x}})}{x\cdot {\frac {h}{x}}}}={\frac {1}{x}}\,^{a}\!\log \left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)={\frac {1}{x}}\,^{a}\!\log e,}$

dengan ${\textstyle u={\frac {h}{x}}}$ . Logaritma basis a dari e sama dengan 1, bila a sama dengan e. Jadi secara simbolis,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,^{e}\!\log x={\frac {1}{x}}}$ .

Logaritma dengan basis khusus ini disebut logaritma alami. Logaritma yang dilambangkan sebagai ln ini berperilaku baik terhadap diferensiasi karena ia tidak mempunyai batas yang tidak menentukan saat melakukan perhitungan.

Jadi, ada dua cara dalam memilih bilangan khusus a. Yang pertama adalah mencari solusi a pada persamaan turunan dari fungsi eksponensial a^x sama dengan a^x, dan yang kedua adalah mencari solusi a pada persamaan turunan dari logaritma basis a sama dengan ${\textstyle {\frac {1}{x}}}$ . In each case, one arrives at a convenient choice of base for doing calculus. It turns out that these two solutions for a are actually the same: the number e.

Pencirian e lainnya juga dapat berupa limit barisan, jumlah deret takhingga, dan pula berkaitan dengan kalkulus integral. Hingga kini, dua sifat (ekuivalen) berikut telah diperkenalkan:

1. Bilangan e merupakan bilangan real positif tunggal sehingga ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}}$ .
2. Bilangan e merupakan bilangan real positif tunggal sehingga ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\,^{e}\!\log t={\frac {1}{t}}}$ .

Empat pencirian lainnnya dapat dibuktikan menjadi setara:

Seperti yang dijelaskan alasannya, fungsi eksponensial e^x merupakan bagian terpenting karena fungsi ini merupakan fungsi taktrivial tunggal. Fungsi ini merupakan turunan dari fungsi dari dirinya sendiri (beserta juga dengan perkalian konstanta):

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

Oleh karena itu, fungsi eksponensial juga merupakan antiturunan dari fungsi dari dirinya sendiri:

${\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C}$ .

Bilangan e merupakan bilangan real tunggal sehingga

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$

untuk semua bilangan positif x.^[17] Selain, terdapat pertidaksamaan

${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$

untuk semua bilangan real x, dengan persamaan jika dan hanya jika x = 0. Lebih lanjut, e adalah bilangan pokok tunggal dari eksponensial dengan pertidaksamaan a^x ≥ x + 1 berlaku untuk semua x.^[18] Pertidaksamaan ini merupakan kasus pembatasan dari pertidaksamaan Bernoulli.

Masalah Steiner adalah masalah yang bertanya mengenai pencarian nilai maksimum global untuk fungsi ${\textstyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}}$ . Jawaban dari masalah tersebut adalah bahwa nilai maksimumnya tepat berada di x = e, dengan nilai maksimumnya berupa bilangan yang tepat 20 angka desimal, yaitu 1,4446 6786 1009 7661 3365....

Pembuktiannya dimulai dari pertidaksamaan ${\displaystyle e^{y}\geq y+1}$ , yang dihitung di ${\displaystyle y=(x-e)/e}$ dan kemudian dengan menyederhanakannya memberikan pertidaksamaan ${\displaystyle e^{x/e}\geq x}$ . Jadi, ${\displaystyle e^{1/e}\geq x^{1/x}}$ untuk semua bilangan positif x.^[19]

Mirip dengan tadi, x = 1/e adalah nilai maksimum global yang terdapat di fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ , yang didefinisikan untuk bilangan positif x. Lebih umumnya, untuk fungsi

${\displaystyle f(x)=x^{x^{n}},}$

nilai maksimum global untuk bilangan positif x terdapat di x = 1/e untuk setiap n < 0, dan nilai minimum global terdapat di x = e^−1/n untuk setiap n > 0.

Selain itu, terdapat fungsi berupa eksponensial lainnya, yaitu tetrasi takhingga

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ atau ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

konvergen jika dan hanya jika e^−e ≤ x ≤ e^1/e (atau kira-kira di antara nilai 0,0660 dan 1,4447), karena teorema Euler.^[20]

Bilangan real e adalah bilangan irasional. Hal ini dibuktikan oleh Euler dengan memperlihatkan bahwa perluasan dari pecahan berlanjut sederhananya adalah takhingga.^[21] Adapula bukti Fourier bahwa e adalah irasional.

Lebih lanjut, menurut teorema Lindemann–Weierstrass, e adalah transendental, yang berarti bahwa bilangan tersebut tidak mempunyai solusi dari setiap persamaan polinomial takkonstan dengan koefisien bilangna rasional. Bilangan ini pertama kali terbukti transendental tanpa dibangun secara spesifik (bandingkan dengan bilangan Liouville); buktinya diberikan oleh Charles Hermite pada 1873.

e diduga berupa bilangan normal, yang mengartikan bahwa ketika e dinyatakan dalam basis manapun, maka digit di basis tersebut dapat tersebar secara menyeragam (occur with equal probability in any sequence of given length).

Fungsi eksponensial e^x dapat ditulis sebagai deret Taylor

${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Karena deret Taylor konvergen untuk setiap nilai kompleks dari x, biasanya deret tersebut dipakai untuk memperluas definisi e^x hingga bilangan kompleks. Melalui deret Taylor untuk fungsi sinus dan kosinus dari x, hal ini memungkinkan bahwa rumus Euler diturunkan sebagai ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$ yang berlaku untuk setiap kompleks x. Adapun identitas Euler, sebuah kasus istimewa ketika x = π:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

from which it follows that, in the principal branch of the logarithm,

${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$

Furthermore, using the laws for exponentiation,

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}$

which is de Moivre's formula.

The expression

${\displaystyle \cos x+i\sin x}$

is sometimes referred to as cis(x).

The expressions of sin x and cos x in terms of the exponential function can be deduced:

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}$