Titik tetap (matematika)

Secara formal, misalkan ${\displaystyle f(x)}$ suatu fungsi yang daerah asalnya adalah suatu himpunan ${\displaystyle X}$ , atau himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$ , dan daerah sekawannya adalah ${\displaystyle X}$ juga. Titik tetap fungsi ${\displaystyle f(x)}$ adalah suatu titik (anggota) pada himpunan ${\displaystyle X}$ yang dipetakan ke dirinya sendiri, yakni ${\displaystyle a\in X}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle f(a)=a}$ .^[4]

Sebagai contoh, jika ${\displaystyle f(x)}$ terdefinisi pada bilangan riil dengan

$${\displaystyle f(x)=x^{2}-3x+4,}$$

${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(2)=2}$

Perlu diperhatikan bahwa tidak semua fungsi punya titik tetap: misalnya, f(x) = x + 1, tidak memiliki titik tetap, sebab ${\displaystyle x}$ tidak akan pernah sama dengan x + 1 untuk setiap bilangan riil.

Secara grafik, jika ${\displaystyle x}$ suatu titik tetap fungsi ${\displaystyle f(x)}$ maka titik ${\displaystyle (x,f(x))}$ berada pada garis ${\displaystyle y=x}$ , atau dengan kata lain, grafik fungsi ${\displaystyle f(x)}$ berpotongan dengan garis ${\displaystyle y=x}$ di titik ${\displaystyle (x,f(x))}$ .

Iterasi (lelaran^[5]) titik tetap adalah salah satu metode numerik untuk mencari akar-akar suatu fungsi, dengan jalan mencari titik tetap fungsi tersebut. Metode ini disandarkan pada prinsip pemetaan kontraksi. Gagasannya, diberikan suatu fungsi ${\displaystyle f}$ dengan domain dan kodomain yang sama, beserta titik ${\displaystyle x_{0}}$ pada domain ${\displaystyle f}$ , maka iterasi titik tetapnya ialah

$${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\,n=0,1,2,\dots }$$

yang menghasilkan barisan ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dots }$ dari penerapan fungsi teriterasi ${\displaystyle x_{0},f(x_{0}),f(f(x_{0})),\dots }$ yang diharapkan akan konvergen ke suatu titik ${\displaystyle x}$ . Apabila ${\displaystyle f}$ kontinu, maka dapat dibuktikan kalau nilai ${\displaystyle x}$ yang telah diperoleh adalah titik tetap dari ${\displaystyle f}$ .

Titik-titik yang kembali ke nilai yang sama setelah suatu iterasi berhingga dari suatu fungsi disebut titik periodik. Titik tetap adalah titik periodik dengan periode sama dengan satu.

• diberikan grup G yang bertindak himpunan X dengan tindakan grup ${\displaystyle \cdot }$ dari kiri. Elemen x di X disebut sebagai titik tetap dari g jika ${\displaystyle g\cdot x=x}$ .

• Misalkan f adalah suatu automorfisme dari grup G. Maka, himpunan ${\displaystyle G^{f}}$ yang didefinisikan sebagai

$${\displaystyle G^{f}=\{g\in G\mid f(g)=g\}.}$$

merupakan subgrup dari G, yang biasa dikenal sebagai Subgrup titik tetap

• Misalkan f adalah suatu automorfisme dari gelanggang R. Maka, himpunan ${\displaystyle R^{f}}$ yang didefinisikan sebagai

$${\displaystyle R^{f}=\{r\in R\mid f(r)=r\}.}$$

merupakan subgelanggang dari R, yang biasa dikenal sebagai Subgelanggang titik tetap

• Dalam teori Galois, himpunan titik-titik tetap dari himpunan automorfisme lapangan adalah lapangan yang disebut medan tetap dari himpunan automorfisme.

Teorema titik tetap adalah hasil yang menyatakan bahwa setidaknya terdapat satu titik tetap, dalam suatu kondisi tertentu.^[6] Beberapa penulis mengklaim bahwa hasil semacam ini adalah salah satu yang secara umum paling berguna dalam matematika.^[7]

Dalam banyak bidang, konsep Ekuilibrium atau stabilitas adalah konsep dasar yang bisa dijelaskan dengan konsep titik tetap. Beberapa contohnya adalah sebagai berikut.

• dalam geometri proyektif, titik tetap suatu homografi disebut sebagai titik ganda (bahasa Inggris: double point).^[8][9]
• Dalam ilmu ekonomi, kesetimbangan Nash dari teori permainan adalah titik tetap dari korespondensi tanggapan terbaik permainan tersebut. John Nash mengeksploitasi teorema titik tetap Kakutani dalam seminal paper miliknya, yang membuatnya memenangkan hadiah nobel di bidang ekonomi.
• Kompilator bahasa pemrograman menggunakan perhitungan titik tetap untuk analisis program, misalnya dalam analisis aliran data, yang terkadang diperlukan untuk optimalisasi kode. Titik tetap juga merupakan konsep inti yang digunakan oleh program umum dalam metode analisis penafsiran abstrak.^[10]
• Vektor dari nilai-nilai PageRank dari semua laman web adalah titik tetap dari transformasi linier yang diperoleh dari struktur pranala Waring Wera Wanua.
• Distribusi Stasioner suatu rantai Markov adalah titik tetap dari fungsi peluang transisi satu langkah.
• Logikawan Saul Kripke menggunakan titik tetap dalam teori tentang kebenaran miliknya. Dia menunjukkan bagaimana seseorang dapat membuat predikat yang hanya benar sebagian (predikat yang tidak terdefinisi nilai kebenarannya, untuk tipe kalimat yang bermasalah, seperti "Kalimat ini tidaklah benar"), dengan mendefinisikan "kebenaran" secara rekursif, starting from the segment of a language that contains no occurrences of the word, and continuing until the process ceases to yield any newly well-defined sentences (proses ini memakan terhitung tak-berhingga langkah). That is, for a language B, misalkan B′ (dibaca "B-aksen") adalah language generated by adding to L, for each sentence S in B, the sentence "S is true." Titik tetap akan tercapai apabila B′ itu B; pada titik ini, kalimat seperti "Kalimat ini tidaklah benar" tetap tidak terdefinisi, sehingga, menurut Kripke, the theory is suitable for a natural language that contains its own truth predicate.

• Solusi Elegan untuk Menggambar Titik Tetap (dalam bahasa inggris)