Acredita-se que tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).[2]
O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.
A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos e tais que:
ou, equivalentemente:
Podemos supor que e não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar.
Agora, escrevemos:
Então:
Concluímos então que deve ser um número par, pois é dobro de . E deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.
Temos então que é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos :
Pelos motivos alegados anteriormente, deve ser um número par.
Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.
Em 1786, o professor alemão de física Georg Christoph Lichtenberg[4] descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel.[4] Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1:
Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas:
A raiz quadrada de dois é a razão de frequência de um intervalo de trítono em uma música de temperamento igual de doze tons.
A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas aberturas sucessivas é 2.
A latitude celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de um quarto de dia cruzado é igual à inclinação do eixo do planeta dividido por