Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:
![{\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adbe33c805a58129e3f1fde424c2e5edd208f743)
Desarrollando
en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:
![{\displaystyle a_{k+1}={\frac {k-n}{(k+1)^{2}}}a_{k},\ \ k=0,1,2,...;\ \ \ y(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea001065279a3098d1010b16391216c6ceac1417)
Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general
.
Definición
El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55a4e7fe9d0f2076efd7714a4692bb321d4679e)
Que tras desarrollar queda de la forma:
![{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{k!}}x^{k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {n!}{(n-k)!k!k!}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f3bdb912f09dfc7ea7d21f836d4f26b9209c0c)
algunos de estos polinomios son:
n | ![{\displaystyle L_{n}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3340a6752ea0fd0739671ee0bb11b91fc0f7d5) |
0 | ![{\displaystyle 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd1e7984fe6e1b79a26404a8138a6c6ee41a476) |
1 | ![{\displaystyle -x+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4facacda63303f8b9defa1c84d9b3504c64f3dfb) |
2 | ![{\displaystyle (x^{2}-4x+2)/2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fa71d5ec804dcf256b13c47544258caa26eea0) |
3 | ![{\displaystyle (-x^{3}+9x^{2}-18x+6)/6\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c413ae21bc202997a612aac834762e559941e9) |
4 | ![{\displaystyle (x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)/24\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e690fa9bf40595d2e8121c1224f5e26c8c69f157) |
5 | ![{\displaystyle (-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)/120\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63c6f5a49b09da560c8d3b664bd79da1a1abed2) |
6 | ![{\displaystyle (x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)/720\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43034571b60713e186487318d72f006089c3e8e) |
Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:
![{\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb96937342131d34233da980c351d809b8c636b)
Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.
Función generatriz
La función generatriz de los polinomios de Laguerre viene dada por:
![{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{L_{n}(x)}t^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{n \choose k}x^{k}t^{n}\ \ \ |t|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865f8f553fc92a140818579eb060eca3fe962817)
Cambiando el orden de los sumatorios, haciendo el cambio m = n - k y reordenando queda lo que a continuación:
![{\displaystyle \psi (x,t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}t^{k}\sum _{m=0}^{\infty }{m+k \choose k}t^{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2d7abc45a9f1769c18ec4d570dcc1a00142f74)
Que sabiendo que
, y después de reagrupar queda de la forma:
![{\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{1-t}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)^{k}={\frac {1}{1-t}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77978e66f15bef2ceb1aa81b37bfe1ff7497408)
Relaciones de recurrencia
A partir de la función generatriz, despejando la exponencial y derivando respecto de t se puede llegar a una relación de recurrencia como la siguiente:
![{\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e021fa50fbce310d42c140c67b29dff29df60d)
Conocidos los dos primeros polinomios (ver tabla) puede utilizarse esta fórmula para obtener el de grado n.
Ortogonalidad
Los polinomios de Laguerre son ortogonales según el producto escalar:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}|L_{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }L_{n}(x)L_{m}(x)e^{-x}dx=\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b650698fff29679fe1587adcff884f2b6bcff622)
Siendo
la delta de Kronecker. No obstante podemos definir las funciones:
![{\displaystyle \varphi _{n}(x)=L_{n}(x)e^{-x/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67afe68b859f0c922950a3777731818ca4b5d968)
Que claramente son ortonormales respecto del producto escalar ordinario:
![{\displaystyle \left\langle \varphi _{n}|\varphi _{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{m}(x)dx=\delta _{nm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11ec61ad07db24ffed81c1a4b29e19e401e19b3)
Despejando de su definición los polinomios de Laguerre y sustituyendo en la ecuación de Laguerre obtenemos la ecuación diferencial que nos da estas funciones como solución:
![{\displaystyle x\varphi _{n}''(x)+\varphi _{n}'(x)+\left(n+{\frac {1}{2}}-{\frac {x}{4}}\right)\varphi _{n}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3e0593254ef48626aa5bb602e9a52104a7ee47)
Polinomios asociados de Laguerre
También llamados polinomios de Laguerre generalizados, son polinomios que cumplen la siguiente ecuación diferencial:
![{\displaystyle xy''(x)+(m+1-x)y'(x)+ny(x)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6eb8797e7ba79b8ac29508e9b580fdbbec6c54)
Definición
Quedan definidos a partir de las derivadas de los polinomios de Laguerre:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{n+m}(x),\ m\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b46e74136ce63083de151335a87141aca53221)
Aunque en ocasiones puede resultar ventajoso emplear la fórmula de Rodrigues:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)={\frac {e^{x}x^{-m}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(e^{-x}x^{n+m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ae520317c2cdb893245ac224517d7cc9059f12)
Derivando, según la definición se obtiene:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+m \choose n-k}{\frac {1}{k!}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c56b959e32ae19e57c2efc8a9320ea585e4278b)
Función generatriz y relaciones de recurrencia
La función generatriz viene dada por:
![{\displaystyle \psi _{m}(x,t)=\sum _{n=m}^{\infty }L_{n}^{m}(x)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{m+1}}}\exp {\left({\frac {-xt}{1-t}}\right)}\ \ \ |t|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbc2e8f216aed51c44fb7d08454a06b98538611)
De la que se derivan las relaciones de recurrencia que cumplen; algunas de las cuales son las siguientes:
![{\displaystyle L_{n}^{m}(x)=L_{n}^{m+1}(x)-L_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24e9ff6334daa28a3f3d1d071d03d2fd5aed8a7)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}L_{n}^{m}(x)=-L_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507cd05e249e667df3e9f20a7d09876c21a739a9)
![{\displaystyle nL_{n}^{m}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)+(n-x)L_{n-1}^{m+1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfdcffaec3e7fc7e2a16cad19102ad5e5fa62b4)
![{\displaystyle xL_{n}^{m+1}(x)=(n+m)L_{n-1}^{m}(x)-(n-x)L_{n}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dd553f259a6c5707e57d426d7aba3b78eb9ac8)
Ortogonalidad
Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales respecto la función peso
. Se cumple que:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|L_{n'}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m}L_{n}^{m}(x)L_{n'}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}\delta _{nn'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253b9bd99f3e6cdb8887d08bda4afd21a5616e89)
Otra relación de importancia que cumplen es la siguiente:
![{\displaystyle \left\langle L_{n}^{m}|xL_{n}^{m}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{m+1}L_{n}^{m}(x)L_{n}^{m}(x)dx={\frac {\Gamma (n+m+1)}{n!}}(2n+m+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd8c77424616cdad0f73e7ee415dd8f0030909c)
Donde
es la función Gamma.
Como con los polinomios de Laguerre, se encuentra que las siguientes funciones son ortonormales respecto de la función peso 1:
![{\displaystyle \varphi _{nm}(x)={\sqrt {\frac {n!}{\Gamma (n+m+1)}}}e^{-x/2}x^{m/2}L_{n}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d35b93567f5aa3ce362a1049f223f74460e670)
Son de importancia en mecánica cuántica otras que son ortonormales respecto de la función peso
(debido a la forma que toma la integral de volumen en coordenadas esféricas) que surgen como solución a la parte radial de la ecuación de Schrödinger para el átomo hidrogenoide. Estas funciones son las siguientes:
![{\displaystyle R_{nl}(\rho )=Ne^{-\rho /2}\rho ^{l}L_{n+l-1}^{2l+1}(\rho )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c23f94ce622728d46f3beaecb59d7cf2973888)
En general las funciones construidas de la forma:
![{\displaystyle \varphi _{nm\nu }(x)=e^{-x/2}x^{\nu }L_{n}^{m}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbde63efee32dbbd43fca422c57bcf4821e27a0)
Son ortogonales respecto de la función peso
y son solución de la ecuación:
![{\displaystyle x\varphi _{nm\nu }''(x)+(m+1-2\nu )\varphi _{nm\nu }'(x)+\left[n+{\frac {m+1}{2}}-{\frac {x}{4}}+{\frac {\nu (\nu -m)}{x}}\right]\varphi _{nm\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6df38663c91912537cc9b51ed778f4f351dac123)
Relación con los polinomios de Hermite
Los polinomios de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite como sigue:
![{\displaystyle L_{n}^{-1/2}(x^{2})={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n}n!}}H_{2n}({\sqrt {x}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25cc0cdd67ffdf547135896b03ee483e587d8ce)
![{\displaystyle L_{n}^{1/2}(x^{2})={\frac {(-1)^{n}}{2^{2n+1}n!}}{\frac {H_{2n+1}({\sqrt {x}})}{\sqrt {x}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee477c68a5500ef342c543628efb8966be7ed51)
Véase también
Referencias