ענת בגר נולדה לאב קדר ולאם מורה, במושב דור, שבו התנסתה בחימר וצבע ובהשראת יצירתם של הוריה.
אחר שירותה הצבאי למדה קדרות מאביה אביק לווסון, שהיה מראשוני הקדרים בישראל, ועבדה איתו בסטודיו במשך מספר שנים, במקביל למדה שנה במדרשה למורים לאמנות ברמת השרון ולאחר מכן נסעה ללמוד אמנות בThe Fine Art Museum School אשר בבוסטון. היא למדה תולדות האמנות באונברסיטת תל אביב ואצל הציירים יאן ראוכוורגר, אלימה, יאיר גרבוז, מוטי מזרחי, איציק לבנה ורפי מינץ ופיסול באבן אצל ג'וק -משה שק.
ב-1992 חזרה לישראל אחרי שהות של 3 שנים.
ב־1995 הקימה בגר סטודיו במושב דור, בו היא יוצרת בחומרים מגוונים - בדים, נייר, עץ, חימר וכן הלאה.
ענת בגר היא אשתו של המוזיקאי אלברט בגר ואמא ל־3 בנים, ביניהם המעבד והמפיק המוזיקלי סתיו בגר.