In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.
Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet[1], ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn[2] e Kolmogorov[3]. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.
Sia
un'algebra di sottoinsiemi di
e
una funzione σ-additiva, nel senso che se
è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di
e l'unione di tutti gli
sta in
allora:
![{\displaystyle \mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63afb258dda8eea35546aadb901d2ba9834c80ed)
e tale che
(si dice che
è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).
Indicata con
la σ-algebra generata da
, esiste una misura
su
che estende
, cioè tale che ristretta ad
è uguale a
.
Se
è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile
che ricopre
, con
per ogni
, allora l'estensione è unica.
La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad
è uguale a
e che gli elementi di
sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui
è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.
La funzione
costruita a partire da
è definita come:
![{\displaystyle \mu ^{*}(E):=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}):\ \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subset \mathbf {A} ,\ E\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1534c163aa6198255d5218954a54893c999912)
e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo
, dove:
![{\displaystyle \mathbf {M} :=\{B\subset X:\ \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap B)+\mu ^{*}(E\cap B^{c})\ \forall E\subset X\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624c268c629fab697490509a18fceb85dfb95029)
è una σ-algebra e
è la restrizione di
a
.
Si vuole dimostrare che per ogni
in
vale:
![{\displaystyle \mu _{0}(A)=\mu ^{*}(A):=\inf \sum \mu _{0}(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a649909ccf3f2ed901cf36f51146039c76b531d8)
dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili
che ricoprono
. In particolare, prendendo la famiglia
si ha subito:
![{\displaystyle \mu ^{*}(A)\leq \mu _{0}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523a6444c4756f23d50b14a757b7c0d6e308352d)
Sia
una famiglia che ricopre
. L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata
si può spezzare
sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di
, da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia
è associata una famiglia
di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n
è uguale a quella dei primi n
, questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo
. Per quanto detto l'unione di tutti i
contiene
, quindi:
![{\displaystyle \mu _{0}(A)=\mu _{0}\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }(A\cap B_{i})\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A\cap B_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(B_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e482117329f2f423bdb464029447d03890a356)
dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di
. Ora, questo vale per qualsiasi
che ricopre
, quindi:
![{\displaystyle \mu _{0}(A)\leq \mu ^{*}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b50e44393e9ad57d92a2ebd01c634d5716258ab)
Dimostrare che
sta in
significa dimostrare che:
![{\displaystyle \ \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50c50ef91aaaa7d31cff57df134c4bf9d890926)
qualsiasi sia
. Per farlo si approssima
usando una famiglia
che copre
, poi con
si spezza l'approssimazione invece che
, così da poter usare l'additività di
. Nel dettaglio, per ogni
esiste una famiglia
che copre
e tale che:
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)+\epsilon \geq \sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A)+\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(A_{i}\cap A^{c})\geq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2306273bc0dae9e6a89e316a477452677230df60)
dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo
come
e usando l'additività di
, mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che
è un ricoprimento di
, e analogamente per
. Si nota che essendo
arbitrario:
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)\geq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818c7b865d7607b606054c973bc807e492b0a17f)
L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di
:
![{\displaystyle \mu ^{*}(E)=\mu ^{*}((E\cap A)\cup (E\cap A^{c}))\leq \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\cap A^{c})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff867cae46af578544bb32c222ffd2c4582af419)
Ricapitolando, partendo da
si è costruita una misura esterna
che ristretta alla σ-algebra
è una misura
. Si è dimostrato che l'algebra
è contenuta in
e che
sugli elementi di
si comporta come la premisura
da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo
la più piccola σ-algebra contenente
, ed
, si ha
. Se con abuso di notazione si continua a denotare con
la misura su
ristretta ad
, lo spazio di misura
è, per quanto detto, quello cercato.
In generale, mentre
è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio
può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando
è la σ-algebra dei boreliani di
e
è la misura di Lebesgue).
In questa parte si suppone che
sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia
una misura su
che estende
, mentre si continua ad indicare con
la misura, sempre su
, costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia
una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è
. Si può supporre che gli
siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia
con
al posto di
). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile
se e solo se concordano su tutte le intersezioni
, perché in questo caso sarebbe:
![{\displaystyle \mu (A)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A\cap A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\nu (A\cap A_{i})=\nu (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/febaa020ac7b8e5c9057a68de349fa469b765cf1)
Ci si è ridotti a dover dimostrare che se
ha misura finita e
è contenuto in
, allora
. Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia
che ricopre
. Si ha:
![{\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98d9815a81f9ff1a562434b9b1d8ca3e337f848)
da cui:
![{\displaystyle \nu (A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\nu (C_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{0}(C_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2330182450cc53278ef652f757675b5849f8ac0e)
e quindi
perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie
che coprono
e
è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche
. Ricordando che
sta in
e spezzandolo come
si conclude:
![{\displaystyle \mu (B)=\nu (B)=\nu (B-A)+\nu (A)\leq \nu (B-A)+\mu (A)\leq \mu (B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885bfb3d5b9c194bac223f57f2ab51b9c0768154)
cioè:
![{\displaystyle \nu (B-A)+\nu (A)=\nu (B-A)+\mu (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ce384dd86a10acffaedfd8d836d3c390c23e48d)
da cui:
![{\displaystyle \nu (A)=\mu (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4589cf0154c6af515923cbdefcbc358761551feb)
- (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006, ISBN 3-540-34513-2.
- (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999, ISBN 0-471-31716-0.
- (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993, ISBN 0-387-94001-4.