소거법 (消去法, elimination method )은 연립방정식 (특히 연립일차방정식 )을 풀이하는 간단한 기법이다.[1] :3-5 미지수 의 개수를 줄여나가는 것은 소거법의 관건이며, 아래와 같은 서로 비슷한 여러 방법 중 하나를 사용한다.
특정 미지수를 포함한 항의 계수 가 0이 되어 소거 할 수 있게 더하거나 빼서 연립방정식을 푸는 방법(가감법 , 加減法; 문화어 : 더덜기법) 특정 미지수의 남은 미지수로의 표현을 방정식에 대입 (대입법 , 代入法, substitution method ) 특정 미지수의 남은 미지수로의 두 가지 표현을 등호로 연결(등치법 , 等値法) 소거법을 통해 연립방정식의 해가 만족해야 할 일련의 필요조건들을 얻을 수 있다. 만약 그들 중 어떤 조건이, 연립방정식의 해가 될 충분조건이기도 하면, 그 조건이 곧 연립방정식의 정확한 해이다. 만약 필요조건들이 모순 이라면, 연립방정식의 해는 존재하지 않는다.
임의의 연립일차방정식은 소거법만으로 풀이할 수 있다. 하지만, 부정, 불능 여부 등에 대한 판단 없이는 다소 맹목적이다. 가우스 소거법 은 소거법의 실질을 추상화하여 얻어진 연립일차방정식의 풀이법이다.
소거법은 일반적인 연립방정식의 해법이 되지 못한다. 하지만 소거법만으로 풀이되는 특별한 연립방정식은 연립일차방정식 이외에도 존재한다.
연립일차방정식의 예 이원일차 연립방정식
{ 2 x − 3 y = 3 − 2 x + 5 y = − 1 {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}2x-3y&=3\\-2x+5y&=-1\end{aligned}}\right.} 을 가감법으로 풀이할 것이다. 두 방정식을 더해서(즉 ① + ② ) x {\displaystyle x} 를 소거하면
2 y = 2 {\displaystyle 2y=2} 즉 y = 1 {\displaystyle y=1} 이를 첫번째 방정식에 대입하면
2 x − 3 = 3 {\displaystyle 2x-3=3} 즉 x = 3 {\displaystyle x=3} 따라서 ①, ② ⇒ (x , y ) = (3, 1) 이다. 당연히 ①, ② ⇐ (x , y ) = (3, 1) 이므로, 튜플 (x , y ) = (3, 1) 이 바로 (유일한) 해이다. 다르게는, 만약 대입법과 등치법에 의해 x {\displaystyle x} 를 소거한다면, 그 과정은 각각 다음과 같을 것이다.
− 2 ⋅ 3 y + 3 2 + 5 y = − 1 {\displaystyle -2\cdot {\frac {3y+3}{2}}+5y=-1} (① 에 의해 x {\displaystyle x} 를 y {\displaystyle y} 로 표현한 식을 ② 에 대입) 3 y + 3 2 = 5 y + 1 2 {\displaystyle {\frac {3y+3}{2}}={\frac {5y+1}{2}}} (①,② 에 의해 x {\displaystyle x} 를 y {\displaystyle y} 로 표현한 두 식을 등호로 연결)삼원일차 연립방정식
{ x + 2 y − z = 1 4 x + 9 y − 3 z = 8 − 2 x − 3 y + 7 z = 10 {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x+2y-z&=1\\4x+9y-3z&=8\\-2x-3y+7z&=10\end{aligned}}\right.} 은, 2 × ① + ③ 그리고 ② + 2 × ③ 을 통해 얻은 이원일차 연립방정식
{ y + 5 z = 12 3 y + 11 z = 28 {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}y+5z&=12\\3y+11z&=28\end{aligned}}\right.} 에서 y , z {\displaystyle y,z} 를 구해서 ① 에 대입하면 해 ( x , y , z ) = ( − 1 , 2 , 2 ) {\displaystyle (x,y,z)=(-1,2,2)} 를 구할 수 있다.
다음 예시는 앞선 것들과 조금 다르다.
{ 2 x − y + z = 0 x + 3 y + 4 z = 0 ⟹ { − 7 y − 7 z = 0 7 x + 7 z = 0 ⟹ ( x , y , z ) = ( − a , − a , a ) {\displaystyle \left\{{\begin{aligned}2x-y+z&=0\\x+3y+4z&=0\end{aligned}}\right.\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}-7y-7z&=0\\7x+7z&=0\end{aligned}}\right.\Longrightarrow (x,y,z)=(-a,-a,a)} 반대로
( x , y , z ) = ( − a , − a , a ) ⟹ { 2 x − y + z = 0 x + 3 y + 4 z = 0 {\displaystyle (x,y,z)=(-a,-a,a)\Longrightarrow \left\{{\begin{aligned}2x-y+z&=0\\x+3y+4z&=0\end{aligned}}\right.} 따라서 정확한 해는, 임의의 ( − a , − a , a ) {\displaystyle (-a,-a,a)} 꼴의 튜플이다.
해일 수 있는 튜플에 대한 반대 방향으로의 검증은, 해의 구조를 미리 알면 어느 정도 생략할 수 있다. 예를 들어 미지수와 방정식의 개수가 같은 연립일차방정식에 대해서는, 만약 계수행렬의 행렬식 이 0이 아니면, 해가 유일하다는 결론이 있다.
다른 예 자유낙하 시의 속도-시간, 변위-시간 관계식
{ v = g t h = 1 2 g t 2 {\displaystyle {\begin{cases}v=gt\\h={\frac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}} 으로부터, t {\displaystyle t} 를 소거하여, 속도-변위 관계식
v 2 = 2 g h {\displaystyle v^{2}=2gh} 를 얻을 수 있다.
가우스 소거법 가우스 소거법 은, 소거법을 구체화, 정형화하여 얻는, 연립일차방정식의 해법이다. 소거법은 엄밀히는 연립일차방정식이 성립할 필요조건 만을 제시하므로, 정확한 해집합을 구하기 위해선 해의 후보에 대한 검증이 뒤따라야 하지만, 가우스 소거법 은 원래와 동일한 해집합을 갖는 연립일차방정식으로 전환시키기에 그럴 필요가 없다.
각주