Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya (również notacja łańcuchowa Conwaya), stworzona przez matematyka Johna Hortona Conwaya i Richarda Kennetha Guya[1], jest sposobem wyrażania pewnych dużych liczb. Składa się ze skończonej sekwencji dodatnich liczb całkowitych oddzielonych przez strzałkę w prawo, np. 4 → 5 → 6 → 7 → 9.
Jak w przypadku większości notacji kombinatorycznych, definicja jest rekursywna.
„Łańcuch Conwaya” jest zdefiniowany następująco:
- Każda dodatnia liczba całkowita jest łańcuchem o długości 1.
- Łańcuch o dowolnej długości n, po którym następuje znak strzałki (→) i dowolna liczba całkowita, razem tworzy łańcuch o długości
![{\displaystyle n+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a135e65a42f2d73cccbfc4569523996ca0036f1)
Każdy łańcuch reprezentuje liczbę całkowitą, zgodnie z czterema zasadami poniżej. Mówimy, że łańcuchy są równoważne, jeśli reprezentują tę samą liczbę.
![{\displaystyle a\to b=a^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f7872d2d987cf0a69e826ad98548319ca94ab8)
![{\displaystyle a\to b\to c=a\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } _{c}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dff25d1230405d9703651b97bb634d4a8c449b)
jeśli ostatnim elementem jest 1, można ją usunąć
całą sekwencję po jedynce można usunąć![{\displaystyle a\to \ldots \to b\to c\to d=a\to \ldots \to b\to (a\to \ldots \to b\to (c-1)\to d)\to (d-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0aa088de3ed6ac500424233f2882c40d681e9b5)
Rozważmy teraz trzy przykłady:
![{\displaystyle 2\to 2\to 2\to 2=2\to 2\to (2\to 2\to 1\to 2)\to 1=2\to 2\to (2\to 2)\to 1=2\to 2\to 4\to 1=2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 2=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75d0e2a80850777f701c09765f3c7bf12145785)
![{\displaystyle 3\to 3\to 2=3\uparrow \uparrow 3=7.625.597.484.987}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ff89ea41ea3597eed9cab04e1465e94802a787)
![{\displaystyle 3\to 3\to 2\to 2=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69bfe36f2acfd1cb2282155b340dfb52c49b1fee)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3\to 3\to 1\to 2)\to 1=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3485238f7535ee0d54a38fc38b428550078157d)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3\to 3\to 1\to 2)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0c12b4bcacaa7cca52226dc0e77ffff47d5744)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3\to 3)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081faef01e28a8abbb485e6f62d24892bbc9d2a8)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3^{3})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8786de19cebe616a6a47ee3588a8115151f34529)
![{\displaystyle =3\to 3\to 27=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cff56f9b60da5469d676c4b6316d66365e8e168)
zobacz liczba Grahama
Używając notacji łańcuchowej, Conway i Guy stworzyli nową funkcję podobną do funkcji Ackermanna. Oto jej definicja:
Funkcja daje wartości identyczne do liczb Ackermanna dla n od 1 do 3.
Wiadomo, że cg(4)
jest znacznie większa od Liczby Grahama, która leży między
a ![{\displaystyle 3\to 3\to 65\to 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bcff7e72f554f43465c7ed49ce5880f227c814e)
Dowód:
Najpierw zdefiniujmy funkcję:
która może być użyta do zdefiniowania liczby Grahama jako:
możemy więc rozposać:
z 64 ![{\displaystyle 3\to 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781e219fbc6cfbb7d4a39ab6bc38f1f85df123ae)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3\to 3\to (\cdots (3\to 3\to (3\to 3)\to 1)\cdots )\to 1)\to 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc824e83a374dd46636e88bc63448a8fe49b6fa)
![{\displaystyle =3\to 3\to 64\to 2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e11cbdeeaee67e591e6991288469ec0418d0fa)
![{\displaystyle f^{64}(27)=3\to 3\to (3\to 3\to (\cdots (3\to 3\to (3\to 3\to 27))\cdots ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1edcdde58a5884f05d1bc2cae0b17837c88788a)
![{\displaystyle =3\to 3\to (3\to 3\to (\cdots (3\to 3\to (3\to 3\to (3\to 3)))\cdots ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44242c24634ff52961dd11dcab180ba810c2c115)
![{\displaystyle =3\to 3\to 65\to 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b11cfe2ee88b26efb1788f68b9b3374d913774da)
Można więc stwierdzić, że liczba Grahama leży między
a ![{\displaystyle f^{64}(27).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f45480c92cfced78fbb6364aa48aa69321295ed)
Rozszerzenia Petera Hurfordaedytuj kod
Peter Hurford rozszerzył strzałki Cowaya o dodatkową zasadę[2][3]:
gdzie
przyjmuje formę ![{\displaystyle \to _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3defcff8126766ce80acf0d05a221859feba8fe5)
Wyrażenia typu:
dla
nie istnieją.