Двоичный код

Двои́чный код — это способ представления данных в виде кода, в котором каждый разряд принимает одно из двух возможных значений, обычно обозначаемых цифрами 0 и 1. Разряд в этом случае называется двоичным разрядом.

В случае обозначения цифрами «0» и «1», возможные состояния двоичного разряда наделяются качественным соотношением «1» > «0» и количественными значениями чисел «0» и «1».

Двоичный код может быть непозиционным и позиционным. Позиционный двоичный код лежит в основе двоичной системы счисления, широко распространенной в современной цифровой технике.

Описаниеправить код

Из комбинаторики известно, что, в случае непозиционного кода, количество комбинаций (кодов) n-разрядного кода является числом сочетаний с повторениями, равно биномиальному коэффициенту:

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}=(-1)^{k}{-n \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}}$, [возможных состояний (кодов)], где:

${\displaystyle n}$ — количество элементов в данном множестве различных элементов (количество возможных состояний, цифр, кодов в разряде),
${\displaystyle k}$ — количество элементов в наборе (количество разрядов).
В двоичной системе кодирования (n=2) количество возможных состояний (кодов) равно :

${\displaystyle {\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}={\frac {\left(2+k-1\right)!}{k!\left(2-1\right)!}}={\frac {\left(k+1\right)!}{k!1!}}=k+1}$, [возможных состояний (кодов)], то есть

описывается линейной функцией:

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1}$, [возможных состояний (кодов)], где

${\displaystyle k}$ — количество двоичных разрядов.
Например, в одном 8-битном байте (k=8) количество возможных состояний (кодов) равно:

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1=8+1=9}$, [возможных состояний (кодов)].

В случае позиционного кода, число комбинаций (кодов) k-разрядного двоичного кода равно числу размещений с повторениями:

${\displaystyle N_{p}(k)={\bar {A}}(2,k)={\bar {A}}_{2}^{k}=2^{k}}$, где

${\displaystyle \ k}$ — число разрядов двоичного кода.

Используя два двоичных разряда можно закодировать четыре различные комбинации: 00 01 10 11, три двоичных разряда — восемь: 000 001 010 011 100 101 110 111, и так далее.
При увеличении разрядности позиционного двоичного кода на 1, количество различных комбинаций в позиционном двоичном коде удваивается.

Двоичные коды являются комбинациями двух элементов и не являются двоичной системой счисления, но используются в ней как основа. Двоичный код также может использоваться для кодирования чисел в системах счисления с любым другим основанием. Пример: в двоично-десятичном кодировании (BCD) используется двоичный код для кодирования чисел в десятичной системе счисления.
При кодировании алфавитноцифровых символов (знаков) двоичному коду не приписываются весовые коэффициенты, как это делается в системах счисления, в которых двоичный код используется для представления чисел, а используется только порядковый номер кода из множества размещений с повторениями.

В системах счисления k-разрядный двоичный код, (k-1)-разрядный двоичный код, (k-2)-разрядный двоичный код и т. д. могут отображать одно и то же число. Например, 0001, 001, 01, 1 — одно и то же число — «1» в двоичных кодах с разным числом разрядов — k.

Примеры двоичных чиселправить код

В таблице показаны первые 16 двоичных чисел и их соответствие десятичным и шестнадцатиричным числам.

Примеры «доисторического» использования кодовправить код

• Инки имели свою счётную систему кипу, известную с III тысячелетия до н. э, которая физически представляла собой верёвочные сплетения и узелки. В 2006 году американский исследователь Гэри Уртон^[англ.] обнаружил, что в узелках заложен некий код, более всего похожий на двоичную систему счисления^[1]. Их код допускает 2⁷=128 вариаций.

• Древнекитайская система гадания основанная на гексаграммах была описана в Книге Перемен датируемый ок. 700 г. до. н. э.. Их код допускает 2⁶=64 вариации.

См. такжеправить код

• Троичный код
• Двоичная система счисления
• Унитарный код

Примечанияправить код