Двоичный код

Из комбинаторики известно, что, в случае непозиционного кода, количество комбинаций (кодов) n-разрядного кода является числом сочетаний с повторениями, равно биномиальному коэффициенту:

${\displaystyle {n+k-1 \choose k}=(-1)^{k}{-n \choose k}={\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}}$ , [возможных состояний (кодов)], где:

${\displaystyle n}$  — количество элементов в данном множестве различных элементов (количество возможных состояний, цифр, кодов в разряде),
${\displaystyle k}$  — количество элементов в наборе (количество разрядов).
В двоичной системе кодирования (n=2) количество возможных состояний (кодов) равно :

${\displaystyle {\frac {\left(n+k-1\right)!}{k!\left(n-1\right)!}}={\frac {\left(2+k-1\right)!}{k!\left(2-1\right)!}}={\frac {\left(k+1\right)!}{k!1!}}=k+1}$ , [возможных состояний (кодов)], то есть

описывается линейной функцией:

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1}$ , [возможных состояний (кодов)], где

${\displaystyle k}$  — количество двоичных разрядов.
Например, в одном 8-битном байте (k=8) количество возможных состояний (кодов) равно:

${\displaystyle N_{kp}(k)=k+1=8+1=9}$ , [возможных состояний (кодов)].

В случае позиционного кода, число комбинаций (кодов) k-разрядного двоичного кода равно числу размещений с повторениями:

${\displaystyle N_{p}(k)={\bar {A}}(2,k)={\bar {A}}_{2}^{k}=2^{k}}$ , где

${\displaystyle \ k}$  — число разрядов двоичного кода.

Используя два двоичных разряда можно закодировать четыре различные комбинации: 00 01 10 11, три двоичных разряда — восемь: 000 001 010 011 100 101 110 111, и так далее.
При увеличении разрядности позиционного двоичного кода на 1, количество различных комбинаций в позиционном двоичном коде удваивается.

Двоичные коды являются комбинациями двух элементов и не являются двоичной системой счисления, но используются в ней как основа. Двоичный код также может использоваться для кодирования чисел в системах счисления с любым другим основанием. Пример: в двоично-десятичном кодировании (BCD) используется двоичный код для кодирования чисел в десятичной системе счисления.
При кодировании алфавитноцифровых символов (знаков) двоичному коду не приписываются весовые коэффициенты, как это делается в системах счисления, в которых двоичный код используется для представления чисел, а используется только порядковый номер кода из множества размещений с повторениями.

В системах счисления k-разрядный двоичный код, (k-1)-разрядный двоичный код, (k-2)-разрядный двоичный код и т. д. могут отображать одно и то же число. Например, 0001, 001, 01, 1 — одно и то же число — «1» в двоичных кодах с разным числом разрядов — k.

В таблице показаны первые 16 двоичных чисел и их соответствие десятичным и шестнадцатиричным числам.

• Инки имели свою счётную систему кипу, известную с III тысячелетия до н. э, которая физически представляла собой верёвочные сплетения и узелки. В 2006 году американский исследователь Гэри Уртон^[англ.] обнаружил, что в узелках заложен некий код, более всего похожий на двоичную систему счисления^[1]. Их код допускает 2⁷=128 вариаций.

• Древнекитайская система гадания основанная на гексаграммах была описана в Книге Перемен датируемый ок. 700 г. до. н. э.. Их код допускает 2⁶=64 вариации.

• Троичный код
• Двоичная система счисления
• Унитарный код