在数学 中,弱微分 (Weak Derivative)是一个函数 的微分 (强微分)概念的推广,它可以作用于那些勒贝格可积 (Lebesgue Integrable)的函数,而不必预设函数的可微 性(事实上大部分可以弱微分的函数并不可微)。一个典型的勒贝格可积 函数的空间是 L 1 ( [ a , b ] ) {\displaystyle L^{1}([a,b])} 。在分布 中,可以定义一个更一般的微分概念。
定义 命 u {\displaystyle u} 是一个在 L 1 ( [ q , p ] ) {\displaystyle L^{1}([q,p])\ } 中的勒贝格可积的函数,称 v ∈ L 1 ( [ q , p ] ) {\displaystyle v\in L^{1}([q,p])} 是 u {\displaystyle u} 的一个弱微分 ,如果
∫ q p u ( t ) φ ′ ( t ) d t = − ∫ q p v ( t ) φ ( t ) d t {\displaystyle \int _{q}^{p}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{q}^{p}v(t)\varphi (t)dt} 其中 φ {\displaystyle \varphi } 是任意一个连续可微 的函数,并且满足 φ ( p ) = φ ( q ) = 0 {\displaystyle \varphi (p)=\varphi (q)=0} 。
推广到 n {\displaystyle n} 维的情形,如果 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 是 L l o c 1 ( U ) {\displaystyle L_{loc}^{1}(U)} 中的函数(在某个开集 U ⊂ R n {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}} 中局部可积),并且 α {\displaystyle \alpha } 是一个多重指标 ,那么 v {\displaystyle v} 称为 u {\displaystyle u} 的 α {\displaystyle \alpha } 次弱微分,如果
∫ U u D α φ = ( − 1 ) | α | ∫ U v φ {\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi } 其中 φ ∈ C c ∞ ( U ) {\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)} 是一个任意给定的函数,即给定的支撑集 含于 U {\displaystyle U} 的无穷可微 的函数。
如果 u {\displaystyle u} 的弱微分存在,一般被记为 D α u {\displaystyle D^{\alpha }u} 。可以证明,一个函数的弱微分在测度意义是唯一的,即如果有两个不同的弱微分,其仅可能在一个零测集 上存在差异。
例子 函數 u : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , 1 ] : t ↦ u ( t ) = | t | {\displaystyle u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|} 在 t = 0 {\displaystyle t=0} 並不可微,但具有以下被稱為符號函數的弱微分:
v : [ − 1 , 1 ] → [ − 1 , 1 ] : t ↦ v ( t ) = { 1 if t > 0 0 if t = 0 − 1 if t < 0 {\displaystyle v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)={\begin{cases}1\quad &{\textrm {if}}\,t>0\\0\quad &{\textrm {if}}\,t=0\\-1\quad &{\textrm {if}}\,t<0\\\end{cases}}} 性质 如果两个函数是相同函数的弱导数,那么它们除了在一个勒贝格测度 为零的集合上以外相等,也就是说,它们几乎处处 相等。如果我们考虑函数的等价类,其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等,那么弱导数是唯一的。
此外,如果u 是可微的,那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步,两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。
参见 参考文献