Ньютон биномы

Ньютон биномы формуласын Математикалық индукциямен n-ге қатысты дәлелдейік:

Индукция негізі: ${\displaystyle n=0}$

${\displaystyle (a+b)^{0}=1={\binom {0}{0}}a^{0}b^{0}}$

Индукция қадамы: Формула ${\displaystyle n}$ үшін орындалсын:

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}$

Онда ${\displaystyle n+1}$ үшін келесіні дәлелдеу керек:

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

Дәлелдеуді бастаймыз:

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}\quad +\quad \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}}$

Алғашқы қосыныдан ${\displaystyle k=0}$ болғандағы қосылғышты алайық

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{a^{n-k+1}b^{k}}=a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}}$

Екінші қосылғыштан ${\displaystyle k=n}$ болғандағы қосылғышты алсақ

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}a^{n-k}b^{k+1}=b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}}$

Шыққан екі қосындыны қоссақ:

${\displaystyle a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{n-k+1}b^{k}\quad +\quad b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose {k-1}}a^{n-k+1}b^{k}=a^{n+1}+b^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left({n \choose k}+{n \choose {k-1}}\right)a^{n-k+1}b^{k}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{0}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=n+1}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}\quad +\quad \sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{n+1-k}b^{k}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}a^{n+1-k}b^{k}}$

Дәлелдеу керектігі де осы.

Ньютон биномы формуласы ${\displaystyle (1+x)^{r}}$ функцясының Тейлор қатарына жіктеудің жекеше түрі болып табылады:

${\displaystyle (1+x)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}}$ ,

мұндағы r кешендік сан болуы (соның ішінде теріс не нақты сан) мүмкін. Бұл жіктелудің коэффициенттері мына формуламен өрнектеледі:

${\displaystyle {r \choose k}={1 \over k!}\prod _{n=0}^{k-1}(r-n)={\frac {r(r-1)(r-2)\cdots (r-(k-1))}{k!}}\,}$

Ал қатар

${\displaystyle (1+z)^{\alpha }=1+\alpha {}z+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2}}z^{2}+...+{\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}z^{n}+...}$ .

${\displaystyle |z|\leq 1}$ болғанда жинақталады.

Соның ішінде ${\displaystyle z={\frac {1}{m}}}$ және ${\displaystyle \alpha =x\cdot m}$ болғанда

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{xm}=1+x+{\frac {xm(xm-1)}{2\;m^{2}}}+...+{\frac {xm(xm-1)\cdots (xm-n+1)}{n!\;m^{n}}}+\dots .}$

${\displaystyle m\to \infty }$ шегіне және екінші тамаша шеккке ${\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\left(1+{\frac {1}{m}}\right)^{m}}=e}$ өту арқылы табатынымыз -

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\dots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\dots ,}$

соңғыны дәл осын жолмен Эйлер тапқан.

Толық Белл полиномдары

${\displaystyle B_{n}(a_{s})=B_{n}(a_{1},\dots ,a_{n})}$ және ${\displaystyle B_{0}=1}$ болса, толық Белл полиномдары келесі биномдық жіктелуі орынды:

${\displaystyle B_{n}({{a_{s}}+{b_{s}}})=\sum _{i+j=n}{n \choose i,\ j}{B_{i}}({a_{s}}){B_{j}}({b_{s}}).}$

• Ньютон

Бұл — мақаланың бастамасы. Бұл мақаланы толықтырып, дамыту арқылы, Уикипедияға көмектесе аласыз. Бұл ескертуді дәлдеп ауыстыру қажет.