Тейлор қатары – функцияны көрсеткішті функциялар шексіз қосындысы ретінде жазу. Тейлор қатарының дербес қосындылары болып Тейлор көпмүшелігі саналады. Rn(x)=f(x)-Sn(x) Тейлор қатарының қалдық мүшесі, мұндағы Sn(x) – Тейлор қатарының алғашқы n+1 мүшесінің қосындысы. болғанда Тейлор қатары f(x) функциясына жинақты болады, яғни формуласы шығады. Бұл формуланы 1715 жылы ағылшын математигі Б.Тейлор (1685 – 1731) тапқан, х0=0 болған кезде Маклорен қатары шығады. Осыған сүйене отырып, негізгі элементар функциялардың Тейлор қатарына жіктелуін жазуға болады.[1]
Анықтама Кейбір функциялар үшін Маклорен қатарлары f (x ) = 1/(1 + x 2 ) функциясының Pk Тэйлор полиномдарымен x = 0 (қызыл) және x = 1 (жасыл) орталандырылған k = 1, ..., 16 дәрежелі жіктелу аппроксимациялары. Аппроксимациялар (-1,1) және (1-√2,1+√2) сырттарында жақсармайды.Экспонента:
e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n n ! , x ∈ C {\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} } Натурал логарифм :
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n , {\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{n+1}}{n+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшінБиномдық жіктеу :
( 1 + x ) α = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n , {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n},} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін және барлық α , {\displaystyle ~\alpha ,} комплекс ан үшін, мұндағы
( α n ) = ∏ k = 1 n α − k + 1 k = α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n + 1 ) n ! {\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!} Жекеше түрі:
1 + x = 1 + x 2 − x 2 8 + x 3 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! ( 1 − 2 n ) n ! 2 4 n x n , {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {x}{2}}-{\frac {x^{2}}{8}}+{\frac {x^{3}}{16}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},} барлық | x | < 1 {\displaystyle |x|<1\!} үшін 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n , {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},} барлық | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} үшінШекті геометриялық қатар: 1 − x m + 1 1 − x = ∑ n = 0 m x n , {\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n},} барлық x ≠ 1 , m ∈ N 0 {\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}\!} үшінТригонометриялық функциялар :
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , x ∈ C {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} } cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n , x ∈ C {\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} } tg x = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 , {\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},} барлық | x | < π 2 , {\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}},} үшін, мұндағы B 2 n {\displaystyle B_{2n}} — Бернулли сандары
sec x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}} барлық | x | < π 2 {\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} arcsin x = x + x 3 6 + 3 x 5 40 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін arctg x = x − x 3 3 + x 5 5 − ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшінГиперболалық функция:
sh ( x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 , x ∈ C {\displaystyle \operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} } ch ( x ) = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n , x ∈ C {\displaystyle \operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} } th ( x ) = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 {\displaystyle \operatorname {th} \,\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}} барлық | x | < π 2 {\displaystyle \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} үшін arsh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {arsh} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшін arth ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x 2 n + 1 {\displaystyle \operatorname {arth} \,\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}} барлық | x | < 1 {\displaystyle \left|x\right|<1} үшінСілтемелер