거울 대칭

초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 실수 6차원 (복소수 3차원) 콤팩트 연결 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.

거울 대칭에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 ${\displaystyle M}$ 에 대하여, 이에 대응하는 공간 ${\displaystyle W}$ 가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 ${\displaystyle H^{p,q}}$ 는 다음 관계를 만족한다.

${\displaystyle H^{p,q}(M)=H^{3-p,q}(W)}$ .

이에 따라, ${\displaystyle M}$ 에 축소화한 ⅡA형 초끈 이론은 ${\displaystyle W}$ 에 축소화한 ⅡB형 초끈 이론과 동형이다. 이에 대한 대응 관계는 다음과 같다.

ⅡA	ⅡB
복소구조 모듈라이	일반화 켈러 다양체 구조 ${\displaystyle (g,B)}$ 모듈라이
D0-막	특수 라그랑주 부분 다양체를 감는 D3-막
호지 수 ${\displaystyle h^{1,1}=h^{2,2}}$	호지 수 ${\displaystyle h^{2,1}=h^{1,2}}$
호지 수 ${\displaystyle h^{1,2}=h^{2,1}}$	호지 수 ${\displaystyle h^{1,1}=h^{2,2}}$
${\displaystyle h^{1,1}}$ 개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 벡터 초다중항 ${\displaystyle (g_{i{\bar {\jmath }}},B_{i{\bar {\jmath }}},C_{\mu i{\bar {\jmath }}})}$	${\displaystyle h^{2,1}}$ 개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 벡터 초다중항 ${\displaystyle (g_{ij},g_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}},C_{\mu ij{\bar {k}}})}$
${\displaystyle h^{2,1}}$ 개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 ${\displaystyle (g_{ij},g_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}},C_{ij{\bar {k}}},C_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}k})}$ )	${\displaystyle h^{1,1}+1}$ 개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 하이퍼 초다중항 (1개를 제외하면 ${\displaystyle (g_{i{\bar {\jmath }}},B_{i{\bar {\jmath }}},C_{i{\bar {\jmath }}},C_{\mu \nu i{\bar {\jmath }}})}$ )
1개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 중력 초다중항 ${\displaystyle (g_{\mu \nu },C_{\mu })}$	1개의 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 중력 초다중항 ${\displaystyle (g_{\mu \nu },C_{\mu {\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}{\bar {k}}})}$

이 표에서 등장하는 호지 수들은 단일 연결 콤팩트 복소수 3차원 칼라비-야우 다양체의 호지 수 가운데 자명하지 않은 두 수이다.

위 표에서, 추가로 등장하는 하이퍼 초다중항의 유래는 다음과 같다.

• ⅡA: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ (의 쌍대 스칼라장) + 3차 라몽-라몽 장 ${\displaystyle C_{ijk}}$ , ${\displaystyle C_{{\bar {\imath }}{\bar {\jmath }}{\bar {k}}}}$
• ⅡB: 딜라톤 + 캘브-라몽 장 ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ (의 쌍대 스칼라장) + 2차 라몽-라몽 장 ${\displaystyle C_{\mu \nu }}$ (의 쌍대 스칼라장) + 0차 라몽-라몽 장 ${\displaystyle C_{0}}$

2차원 게이지 선형 시그마 모형

거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항(vector supermultiplet)과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(chiral supermultiplet), 그리고 비틀린 손지기 초다중항(twisted chiral supermultplet)을 이루는 장세기(field strength)의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로(일본어: 堀 健太朗)와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.^{[4]:463–479[12]}

이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형(affine Toda model)에 대응한다.

일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$ 초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 A모형(영어: A-model)과 B모형(영어: B-model)이라고 한다.^[13] 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다.

이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.

3차원 게이지 이론

3차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$ (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서도 일종의 거울 대칭이 존재한다. 이는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ 거울 대칭을 3차원으로 차원 축소한 경우이다.

스트로민저-야우-재슬로 가설

스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설(영어: Strominger–Yau–Zaslow conjecture)은 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다.^{[14][15][16][17][18]} SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 n차원 칼라비-야우 다양체는 Tⁿ (실수 n차원 원환면) 올화(영어: fibration)를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍 ${\displaystyle X,Y}$ 는 같은 공간 ${\displaystyle B}$ 위의 원환면 올다발 ${\displaystyle \pi _{X}\colon X\to B}$ , ${\displaystyle \pi _{Y}\colon Y\to B}$ 를 이루며, 임의의 올 ${\displaystyle b\in B}$ 에 대하여 ${\displaystyle X_{b}=\pi _{X}^{-1}(b)}$ 와 ${\displaystyle Y_{b}=\pi _{Y}^{-1}(b)}$ 는

${\displaystyle X_{b}=H^{1}(Y_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle Y_{b}=H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

의 관계를 가진다. 이는 n차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.

SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다.^[17][19] 이는 큰 복소 구조 극한(영어: large complex structure limit)인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) ${\displaystyle \mathbb {C} /(0\sim 1\sim \tau )}$ 의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 ${\displaystyle \tau }$ 의 극한 ${\displaystyle \tau \to i\infty }$ 를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 큰 부피 극한(영어: large volume limit)에 대응한다.

물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑주 부분 다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 ${\displaystyle B}$ 와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 ${\displaystyle X_{b}}$ 라면 코호몰로지 ${\displaystyle H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ 에 의하여 주어진다. ${\displaystyle X}$ 에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 ${\displaystyle Y}$ 에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, ${\displaystyle X}$ 에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 ${\displaystyle Y}$ 에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 ${\displaystyle Y}$ 이다. 즉, ${\displaystyle Y}$ 는 올다발 ${\displaystyle Y\to B}$ 구조를 가지며, 그 올은 ${\displaystyle Y_{b}=H^{1}(X_{b};\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ 가 된다.

호몰로지 거울 대칭

이 주제 또한 수학에서, 여러 가지 거울 대칭 가설의 형태들 가운데 하나이며, 막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 호몰로지 거울 대칭(영어: homological mirror symmetry)^[20][21]

호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.

• 타원곡선의 경우는 1998년에 증명되었다.^[22]
• 4차 곡면(quartic surface)의 경우는 2003년에 증명되었다.^[23]

하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.

호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 ${\displaystyle (M,W)}$ 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.

${\displaystyle M}$ 의 연접층의 범주의 유도 범주(derived category) = ${\displaystyle W}$ 의 후카야 범주(Fukaya category)의 유도 범주

여기서 양변은 다음과 같다.

• 후카야 범주는 특수 라그랑주 부분 다양체를 대상으로 하고, 플뢰어 사슬을 사상으로 하는 범주로, A-모형(영어: A-model)을 나타낸다. 3차원 칼라비-야우의 경우, BPS(초대칭) D3-막은 특수 라그랑주 부분 다양체를 감는다.
• 연접층의 범주는 B-모형(영어: B-model)을 나타낸다.^[24][25]

이 A/B-모형은 위상 끈 이론의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.

타원 곡선

거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 ${\displaystyle E}$ 는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소구조의 모듈라이 공간은

${\displaystyle \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}}$ 는 열린 상반평면이며, ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ 는 모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 방향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원

${\displaystyle S\colon z\mapsto -1/z}$

${\displaystyle T\colon z\mapsto z+1}$

가운데 ${\displaystyle T}$ 만이 허용되고, 따라서 복소구조 모듈라이 공간은

${\displaystyle \mathbb {H} /\mathbb {Z} =\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}+(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

이다.

반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 ${\displaystyle K\in H^{2}(E;\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$ 에 의하여 결정된다. 그 모듈라이 공간은 타원 곡선의 넓이

${\displaystyle \langle [E],K\rangle \in \mathbb {R} ^{+}}$

으로 나타낼 수 있다. (여기서 ${\displaystyle [E]}$ 는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 ${\displaystyle K}$ 에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 ${\displaystyle B\in \operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} )}$ 를 더하여 다음과 같은 복소화 켈러 구조(영어: complexified Kähler structure) ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 를 생각할 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal {K}}=\mathrm {i} K+{\frac {1}{2\pi }}B\in {\frac {\operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {C} )}{\operatorname {H} ^{2}(E;\mathbb {Z} )}}}$

복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간은 타원 곡선의 ‘복소화 넓이’에 의하여 분류된다.

${\displaystyle \langle [E],{\mathcal {K}}\rangle \in \mathbb {H} /\mathbb {Z} =\mathrm {i} \mathbb {R} ^{+}+(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

즉, 복소화 켈러 구조의 모듈라이 공간(복소화 켈러 뿔 영어: complexified Kähler cone)은 ${\displaystyle \mathbb {H} /\mathbb {Z} }$ 이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 ${\displaystyle \mathbb {H} /\mathbb {Z} }$ 로 일치함을 알 수 있다.

물리학적으로, 한 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡA종 초끈 이론이, 그 복소구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 ⅡB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.

K3 곡면

대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자.^[6]:425 K3 곡면의 모듈라이 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 ${\displaystyle h^{1,1}(K3)=20}$ 개는 켈러 모듈라이, 나머지 38개는 복소구조 모듈라이에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여

${\displaystyle b_{2}(K3)=h^{1,1}(K3)+2=22}$

개의 모듈라이가 추가된다. 이 가운데 ${\displaystyle h^{1,1}=20}$ 개의 모듈라이는 K3 곡면 켈러 모듈라이와 함께 복소수 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈라이들은 (일반화) 복소구조 모듈라이로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈라이가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈라이가 존재한다.

거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈라이를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈라이와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소구조와 켈러 구조 모듈라이를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 ⅡA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈라이(끈 결합 상수)는 바뀌지 않는다.

사실, 이 이론은 4차원 원환면 위에 축소화한 잡종 끈 이론과 동치이다. ${\displaystyle d}$ 차원 원환면 위의 나레인 축소화의 모듈라이의 수는 (딜라톤 진공 기댓값 = 끈 결합 상수를 포함하면) ${\displaystyle (16+d)d+1}$ 인데, ${\displaystyle d=4}$ 일 때 이는 ⅡA의 81개의 모듈라이와 대응된다.

거울 대칭은 1990년에 최초로 발견되었다. 1990년에 필립 칸델라스(영어: Philip Candelas)와 모니카 링커(Monika Lynker), 롤프 심리크(Rolf Schimmrigk)는 4차원 끈 이론 축소화를 연구하기 위하여 가중 사영 공간 속의 3차원 칼라비-야우 다양체들을 컴퓨터를 사용하여 모두 계산하였는데, 이 경우 오일러 수 ${\displaystyle \chi =2h^{1,1}+-2h^{2,1}}$ 와 초다중항 수 ${\displaystyle h^{1,1}+h^{2,1}}$ 를 그래프로 표시하였더니 그 그래프가 오일러 수의 부호 ${\displaystyle \chi \mapsto -\chi }$ 에 대하여 거의 대칭이 되는 기적적인 현상을 발견하였다.^[26] 거의 동시에, 이와 독자적으로 브라이언 그린 · 로넨 플레세르(히브리어: מ. רוֹנֶן פְלֶסֶר)^[27]와 폴 스티븐 애스핀월(영어: Paul Stephen Aspinwall) · 카르스텐 안드레브 뤼트켄(노르웨이어: Carsten Andrew Lütken) · 그레이엄 갈런드 로스(영어: Graham Garland Ross)^[28] 등은 거울 대칭이 되는 칼라비-야우 다양체의 쌍을 발견하였다.^[29][30]

1994년에 막심 콘체비치는 거울 대칭의 일부분을 수학적으로 공리화한 호몰로지 거울 대칭을 제안하였다.^[20] 이후 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로(Eric Zaslow)가 거울 대칭을 T-이중성의 특별한 경우로 해석하였다.^[31]

호몰로지 거울 대칭에 대한 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년에 수상하였다.^[32]

• Tong, David (2007년 2월 19일). “Quantum geometry: What the string saw” (PDF).  (케임브리지 대학교 트리니티 칼리지 강의 슬라이드)
• “Mirror symmetry”. 《nLab》 (영어).