정의 복소수체 (複素數體, 영어 : field of complex numbers ) C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 R {\displaystyle \mathbb {R} } -대수 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 케일리-딕슨 대수 CD ( R ) {\displaystyle \operatorname {CD} (\mathbb {R} )} (에서 체 의 구조만을 기억하여 얻는 체)이다.
구체적으로, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 집합으로서 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 이다. 그 위에는 표준적인 R {\displaystyle \mathbb {R} } -벡터 공간 구조가 존재하며, 그 덧셈은 다음과 같다.
( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) a , b , c , d ∈ R {\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} } 여기에 R {\displaystyle \mathbb {R} } -대수 구조를 다음과 같이 추가할 수 있다.
( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c − b d , a d + b c ) a , b , c , d ∈ R {\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} } 그렇다면, 이는 나눗셈 대수를 이루며, 여기서 체 를 제외한 구조를 잊으면 복소수체를 얻는다. 또한, 실수 단위 ( 1 , 0 ) = 1 {\displaystyle (1,0)=1} 과 허수 단위 ( 0 , 1 ) = i {\displaystyle (0,1)=i} 를 정의하면, 이는 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 를 만족시키며, 모든 원소는 ( a , b ) = a + b i {\displaystyle (a,b)=a+bi} 로 쓸 수 있다. 실수체 는 a ↦ a + 0 i {\displaystyle a\mapsto a+0i} 를 통해 자연스럽게 복소수체의 부분 집합 R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 이라고 생각할 수 있다.
복소수체는 또한 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동형 이다.
선형대수학적 정의 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 행렬 대수 Mat ( 2 ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} 의 다음과 같은 부분 대수와 동형이다.
{ ( a b − b a ) : a , b ∈ R } ⊂ Mat ( 2 ; R ) {\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} \right\}\subset \operatorname {Mat} (2;\mathbb {R} )} 이 경우, 실수 단위와 허수 단위는 각각 다음과 같다.
1 = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} i = ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle i={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}} 가환대수학적 정의 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의, 이차 형식 Q : x ↦ − x 2 {\displaystyle Q\colon x\mapsto -x^{2}} 에 대한 클리퍼드 대수 Cliff ( R , Q ; R ) {\displaystyle \operatorname {Cliff} (\mathbb {R} ,Q;\mathbb {R} )} 와 동형이다.
구체적으로, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 다음과 같은 몫환 과 동형이다.
R [ x ] / ( x 2 + 1 ) = { a + b x + ( x 2 + 1 ) : a , b , ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\{a+bx+(x^{2}+1)\colon a,b,\in \mathbb {R} \}} 이 경우, 실수 단위와 허수 단위는 각각 다음과 같다.
1 = 1 + ( x 2 + 1 ) {\displaystyle 1=1+(x^{2}+1)} i = x + ( x 2 + 1 ) {\displaystyle i=x+(x^{2}+1)} 체론적 정의 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 의 대수적 폐포 R ¯ {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}} 와 동형이다. 이 경우, 실수 단위는 자명하며, 허수 단위는 방정식 x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} 의 두 근 가운데 아무런 하나를 취하면 된다.
표기 복소수의 직교 형식과 극형식과 지수 형식을 복소평면에서 나타낸 것 복소평면 복소수는 데카르트 좌표계 나 극좌표계 를 갖춘 2차원 유클리드 평면 의 점(또는 벡터)과 일대일 대응한다. 이러한 평면을 복소평면 이라고 한다.
복소평면의 점은 꼭대깃점을 제외한 리만 구 의 점과 일대일 대응한다. 복소평면에 무한대점 하나를 추가하면, 리만 구 와 일대일 대응을 갖는 집합을 얻는데, 이를 확장된 복소수 라고 한다.
직교 형식 복소수 z {\displaystyle z} 의 직교 형식 (直交形式, 영어 : cartesian form )은 다음과 같다.
z = x + i y x , y ∈ R {\displaystyle z=x+iy\qquad x,y\in \mathbb {R} } 여기서 x {\displaystyle x} 를 실수부, y {\displaystyle y} 를 허수부라고 한다. 실수부와 허수부는 각각 복소수의 두 좌표축에 대한 사영과 같다. 복소수의 직교 형식은 복소수의 덧셈과 뺄셈에서 편리하게 쓰인다.
극형식 복소수 z {\displaystyle z} 의 극형식 (極形式, 영어 : polar form )은 다음과 같다.
z = r ( cos θ + i sin θ ) r ≥ 0 , θ ∈ R {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\qquad r\geq 0,\;\theta \in \mathbb {R} } (단, cos θ = x x 2 + y 2 {\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} , sin θ = y x 2 + y 2 {\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}} )여기서 r {\displaystyle r} 를 절댓값 , θ {\displaystyle \theta } 를 편각 이라고 한다. 절댓값은 복소수와 원점 사이의 거리와 같으며, 편각은 복소수와 원점의 연결선과 x {\displaystyle x} 축의 사잇각과 같다.
지수 형식 오일러 공식
e i θ = cos θ + i sin θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } 에 따라, 복소수 z {\displaystyle z} 의 지수 형식 (指數形式, 영어 : exponential form )을 얻을 수 있으며, 이는 다음과 같다.
z = r e i θ r ≥ 0 , θ ∈ R {\displaystyle z=re^{i\theta }\qquad r\geq 0,\;\theta \in \mathbb {R} } 복소수의 극형식과 지수 형식은 복소수의 곱셈과 나눗셈에서 편리하게 쓰인다.
실수부 · 허수부 · 절댓값 · 편각 · 켤레 복소수 복소수 z {\displaystyle z} 와 그 켤레복소수 z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} 를 복소평면 상에 기하학적으로 표현함. 복소수 z {\displaystyle z} 의 직교 형식과 극형식과 지수 형식이 다음과 같다고 하자.
z = x + i y = r ( cos θ + i sin θ ) = r e i θ x , y , r , θ ∈ R , r ≥ 0 {\displaystyle z=x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }\qquad x,y,r,\theta \in \mathbb {R} ,\;r\geq 0} 그렇다면, 복소수에 대한 다음과 같은 단항 연산들을 정의할 수 있다.
z {\displaystyle z} 의 실수부 (實數部, 영어 : real part )는 실수 단위 1에 붙는 계수이다. 즉, 다음과 같다. Re z = x = r cos θ ∈ R {\displaystyle \operatorname {Re} z=x=r\cos \theta \in \mathbb {R} } z {\displaystyle z} 의 허수부 (虛數部, 영어 : imaginary part )는 허수 단위 i {\displaystyle i} 에 붙는 계수이다. 즉, 다음과 같다. Im z = y = r sin θ ∈ R {\displaystyle \operatorname {Im} z=y=r\sin \theta \in \mathbb {R} } z {\displaystyle z} 의 절댓값 은 원점까지의 거리이다. 피타고라스 정리 에 따라, 이는 다음과 같다. | z | = x 2 + y 2 = r ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r\in [0,\infty )} z {\displaystyle z} 의 편각 은 가로축과의 사잇각이다. 즉, 다음과 같다. arg z = atan2 ( y , x ) = θ mod 2 π ∈ ( − π , π ] {\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (y,x)=\theta \,\operatorname {mod} \,2\pi \in (-\pi ,\pi ]} z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} 의 켤레 복소수 는 가로축에 의한 반사에서 얻는 복소수이다. 즉, 다음과 같다. z ¯ = x − i y = r e − i θ ∈ C z ≠ 0 {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=re^{-i\theta }\in \mathbb {C} \qquad z\neq 0} 이러한 기호들을 사용하여 복소수의 세 가지 형식을 다시 쓰면 다음과 같다.
z = Re z + i Im z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ) = | z | e i arg z {\displaystyle z=\operatorname {Re} z+i\operatorname {Im} z=|z|(\cos \operatorname {arg} z+i\sin \operatorname {arg} z)=|z|e^{i\operatorname {arg} z}} 연산 동일성 두 복소수가 서로 같을 필요충분조건은 실수부와 허수부가 서로 같은 것이다.
a + b i = c + d i ⟺ a = c ∧ b = d a , b , c , d ∈ R {\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c\land b=d\qquad a,b,c,d\in \mathbb {R} } 덧셈과 뺄셈 두 복소수의 합은 다음과 같다.
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} 두 복소수의 차는 다음과 같다.
( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i {\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} 특히, 복소수의 덧셈 역원은 다음과 같다.
− ( a + b i ) = ( − a ) + ( − b ) i {\displaystyle -(a+bi)=(-a)+(-b)i} 복소수의 덧셈은 교환 법칙 과 결합 법칙 을 만족시킨다.
곱셈과 나눗셈 두 복소수의 곱셈은 다음과 같다.
( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i} 두 복소수의 나눗셈은 분모의 켤레 복소수 를 분모와 분자에 각각 곱해 구한다. (나누는 수가 0이 아니어야 한다.)
a + b i c + d i = a c + b d c 2 + d 2 + − a d + b c c 2 + d 2 i c + d i ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}i\qquad c+di\neq 0} 특히, 0이 아닌 복소수의 곱셈 역원은 다음과 같다.
1 a + b i = a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i a + b i ≠ 0 {\displaystyle {\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\qquad a+bi\neq 0} 극형식으로 나타낸 복소수
z = r ( cos θ + i sin θ ) {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta )} w = s ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle w=s(\cos \varphi +i\sin \varphi )} 에 대하여 쓰면 다음과 같다.
z w = r s ( cos ( θ + φ ) + i sin ( θ + φ ) ) {\displaystyle zw=rs(\cos(\theta +\varphi )+i\sin(\theta +\varphi ))} z w = r s ( cos ( θ − φ ) + i sin ( θ − φ ) ) w ≠ 0 {\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {r}{s}}(\cos(\theta -\varphi )+i\sin(\theta -\varphi ))\qquad w\neq 0} 1 z = 1 r ( cos θ − i sin θ ) z ≠ 0 {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}(\cos \theta -i\sin \theta )\qquad z\neq 0} 마찬가지로, 지수 형식으로 나타낸 복소수
z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} w = s e i φ {\displaystyle w=se^{i\varphi }} 에 대하여 쓰면 다음과 같다.
z w = r s e i ( θ + φ ) {\displaystyle zw=rse^{i(\theta +\varphi )}} z w = r s e i ( θ − φ ) w ≠ 0 {\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {r}{s}}e^{i(\theta -\varphi )}\qquad w\neq 0} 1 z = 1 r e − i θ z ≠ 0 {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}e^{-i\theta }\qquad z\neq 0} 복소수의 곱셈은 교환 법칙 과 결합 법칙 을 만족시키며, 덧셈에 대한 분배 법칙 을 만족시킨다. 이에 따라, 복소수의 집합은 체 를 이룬다.
순서체의 실패 복소수체 위에는 순서체 의 구조를 줄 수 없다. 즉, 다음을 만족시키는 전순서 ≤⊆ C × C {\displaystyle \leq \subseteq \mathbb {C} \times \mathbb {C} } 가 존재하지 않는다.
임의의 z , w ∈ C {\displaystyle z,w\in \mathbb {C} } 에 대하여, z , w > 0 {\displaystyle z,w>0} 이라면, z + w > 0 {\displaystyle z+w>0} 이며 z w > 0 {\displaystyle zw>0} 이다. 물론, C {\displaystyle \mathbb {C} } 위의 순서 관계는 얼마든지 존재한다. 예를 들어, 다음과 같다.
(사전식 순서 : 전순서 ) z < w ⟺ Re z < Re w ∨ ( Re z = Re w ∧ Im z < Im w ) z , w ∈ C {\displaystyle z<w\iff \operatorname {Re} z<\operatorname {Re} w\lor (\operatorname {Re} z=\operatorname {Re} w\land \operatorname {Im} z<\operatorname {Im} w)\qquad z,w\in \mathbb {C} } (직접곱 : 부분 순서 ) z ≤ w ⟺ Re z ≤ Re w ∧ Im z ≤ Im w z , w ∈ C {\displaystyle z\leq w\iff \operatorname {Re} z\leq \operatorname {Re} w\land \operatorname {Im} z\leq \operatorname {Im} w\qquad z,w\in \mathbb {C} } (절댓값의 크기 비교: 원전순서 ) z ≤ w ⟺ | z | ≤ | w | z , w ∈ C {\displaystyle z\leq w\iff |z|\leq |w|\qquad z,w\in \mathbb {C} } 실수부와 허수부 복소수의 실수부와 허수부는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
Re z = | z | cos arg z = z + z ¯ 2 {\displaystyle \operatorname {Re} z=|z|\cos \operatorname {arg} z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}} Im z = | z | sin arg z = z − z ¯ 2 i {\displaystyle \operatorname {Im} z=|z|\sin \operatorname {arg} z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}} 복소수의 실수부와 허수부에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
Re ( z ± w ) = Re z ± Re w {\displaystyle \operatorname {Re} (z\pm w)=\operatorname {Re} z\pm \operatorname {Re} w} Im ( z ± w ) = Im z ± Im w {\displaystyle \operatorname {Im} (z\pm w)=\operatorname {Im} z\pm \operatorname {Im} w} Re ( z w ) = Re z Re w − Im z Im w {\displaystyle \operatorname {Re} (zw)=\operatorname {Re} z\operatorname {Re} w-\operatorname {Im} z\operatorname {Im} w} Im ( z w ) = Re z Im w + Im z Re w {\displaystyle \operatorname {Im} (zw)=\operatorname {Re} z\operatorname {Im} w+\operatorname {Im} z\operatorname {Re} w} 절댓값과 편각 복소수의 절댓값 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
| z | = ( Re z ) 2 + ( Im z ) 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|={\sqrt {(\operatorname {Re} z)^{2}+(\operatorname {Im} z)^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}} 복소수의 절댓값은 노름 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
| z | ≥ 0 {\displaystyle |z|\geq 0} | z | = 0 ⟺ z = 0 {\displaystyle |z|=0\iff z=0} | z + w | ≤ | z | + | w | {\displaystyle |z+w|\leq |z|+|w|} | z + w | = | z | + | w | ⟺ z w ¯ ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle |z+w|=|z|+|w|\iff z{\bar {w}}\in [0,\infty )} | z w | = | z | | w | {\displaystyle |zw|=|z||w|} | z w | = | z | | w | {\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}}} 복소수의 편각 은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
arg z = atan2 ( Im z , Re z ) = 1 2 i ln z z ¯ {\displaystyle \operatorname {arg} z=\operatorname {atan2} (\operatorname {Im} z,\operatorname {Re} z)={\frac {1}{2i}}\ln {\frac {z}{\bar {z}}}} 복소수의 편각에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
arg ( z w ) ≡ arg z + arg w ( mod 2 π ) {\displaystyle \operatorname {arg} (zw)\equiv \operatorname {arg} z+\operatorname {arg} w{\pmod {2\pi }}} arg z w ≡ arg z − arg w ( mod 2 π ) {\displaystyle \operatorname {arg} {\frac {z}{w}}\equiv \operatorname {arg} z-\operatorname {arg} w{\pmod {2\pi }}} 켤레 복소수 켤레 복소수 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
z ¯ = Re z − i Im z = | z | e − i arg z {\displaystyle {\bar {z}}=\operatorname {Re} z-i\operatorname {Im} z=|z|e^{-i\operatorname {arg} z}} 켤레 복소수 ¯ : C → C {\displaystyle {\bar {}}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } 는 대합 노름 대수 자기 동형 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\bar {\bar {z}}}=z} | z ¯ | = | z | {\displaystyle |{\bar {z}}|=|z|} z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}} z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}} z w ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}} z w ¯ = z ¯ w ¯ {\displaystyle {\overline {\frac {z}{w}}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}} 그러나 켤레 복소수는 정칙 함수 가 아니다.
종류 실수와 허수 복소수 z {\displaystyle z} 는 실수부가 0인지와 허수부가 0인지에 따라 다름과 같이 분류된다.
만약 Im z = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z=0} 이라면, z {\displaystyle z} 를 실수 라고 한다. 만약 Im z ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z\neq 0} 이라면, z {\displaystyle z} 를 허수 라고 한다.만약 Im z ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z\neq 0} 이며 Re z = 0 {\displaystyle \operatorname {Re} z=0} 이라면, z {\displaystyle z} 를 순허수 라고 한다. 사실, 복소수 z {\displaystyle z} 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
z {\displaystyle z} 는 실수이다. Im z = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} z=0} z = 0 {\displaystyle z=0} 이거나, arg z = 0 , π {\displaystyle \operatorname {arg} z=0,\pi } z = z ¯ {\displaystyle z={\bar {z}}} 또한, 다음 조건들이 서로 동치이다.
z {\displaystyle z} 는 순허수이다. Re z = 0 ≠ Im z {\displaystyle \operatorname {Re} z=0\neq \operatorname {Im} z} arg z = ± π 2 {\displaystyle \operatorname {arg} z=\pm {\frac {\pi }{2}}} z = − z ¯ ≠ 0 {\displaystyle z=-{\bar {z}}\neq 0} 예를 들어, − 1 , 1 / 3 , 2 3 , π {\displaystyle -1,1/3,{\sqrt[{3}]{2}},\pi } 는 실수이며, 1 + i , − 2 i , 2 + 3 i {\displaystyle 1+i,-2i,2+{\sqrt {3}}i} 는 허수이며, 이들 가운데 − 2 i {\displaystyle -2i} 는 순허수이다.
대수적 수와 초월수 복소수 z {\displaystyle z} 는 어떤 다항식의 근이 될 수 있는지에 따라 다음과 같이 분류된다.
만약 f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} 인 복소수 계수 다항식 f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} 가 존재한다면, z {\displaystyle z} 를 대수적 수 라고 한다. 만약 f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} 인 복소수 계수 다항식 f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} 가 존재하지 않는다면, z {\displaystyle z} 를 초월수 라고 한다. 예를 들어, 2 3 , ( 1 + i ) / 2 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}},(1+i)/{\sqrt {2}}} 는 대수적 수이며, e , π {\displaystyle e,\pi } 는 초월수이다.
확장 역사 역사적으로 음수의 제곱근이 최초로 나타난 것은, 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론 이 피라미드 의 절단에 대한 부피를 계산할 때이다. 좀 더 명확히 나타난 때는 타르탈리아 나 제롤라모 카르다노 와 같은 16세기 이탈리아 수학자들이 삼차와 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견할 때이다. 그 당시의 수학자들은 이 공식들에서 실수해만을 구하려고 하였지만 그 과정에서 음수의 제곱근이 다루어지는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.
17세기에 르네 데카르트 가 처음으로 "허수"라는 용어를 사용하였다. 18세기에 아브라암 드무아브르 와 레온하르트 오일러 의 복소수에 대한 업적이 있었다. 유명한 드무아브르의 공식 에 드무아부르의 업적이 나타나 있다:
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta \,} 그리고 복소해석학 에서의 오일러의 공식 에서 오일러의 업적을 볼 수 있다:
cos θ + i sin θ = e i θ {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }\,} .복소수의 존재성에 대해서는 1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하적인 표현으로 나타냄으로써 비로소 완전히 받아들여졌다. 이것은 수년 후에 카를 프리드리히 가우스 가 발견하여 널리 알려져서, 결국 복소수가 매우 중요한 수의 확장으로 받아 들여졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스 의 <De Algebra tractatus>에도 나타났다.
같이 보기 각주 외부 링크