체론 에서 체의 확대 (體의 擴大, 영어 : field extension )는 주어진 체 에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
정의 두 체 K {\displaystyle K} 와 L {\displaystyle L} 이 주어졌을 때, K {\displaystyle K} 에서 L {\displaystyle L} 로 가는 확대 는 K {\displaystyle K} 에서 L {\displaystyle L} 로 가는 환 준동형 이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환 의 준동형보다 더 강한 조건이다.)
체의 확대는 항상 단사 함수 이며, 따라서 K {\displaystyle K} 를 L {\displaystyle L} 의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 K {\displaystyle K} 를 L {\displaystyle L} 의 부분체 (部分體, 영어 : subfield ), 반대로 L {\displaystyle L} 을 K {\displaystyle K} 의 확대체 (擴大體, 영어 : extension field )라고 한다. L {\displaystyle L} 이 K {\displaystyle K} 의 확대체라는 것은 기호로 L / K {\displaystyle L/K} 로 쓴다.
일련의 체 K 0 , K 1 , … , K n {\displaystyle K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}} 들이 서로 체의 확대
K 0 ⊆ K 1 ⊆ ⋯ ⊆ K n {\displaystyle K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}} 를 이룰 때, { K i } i = 0 , 1 , … , n {\displaystyle \{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}} 를 체의 탑 (體의 塔, 영어 : tower of fields )이라고 한다.
차수 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌을 때, L {\displaystyle L} 은 K {\displaystyle K} 위의 가환 단위 결합 대수 를 이루며, 특히 벡터 공간 을 이룬다. 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 의 차수 (次數, 영어 : degree )는 L {\displaystyle L} 의 K {\displaystyle K} -벡터 공간으로서의 차원이며, [ L : K ] {\displaystyle [L:K]} 로 표기한다.
차수가 유한한 확대를 유한 확대 (無限擴大, 영어 : finite extension )라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수 이며, 이는 체의 자기 동형 에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대 (二次擴大, 영어 : quadratic extension ), 차수가 3인 확대는 삼차 확대 (三次擴大, 영어 : cubic extension )라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
초월 차수 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 p ∈ K [ | S | ] {\displaystyle p\in K[|S|]} 에 대하여, p ( S ) = 0 {\displaystyle p(S)=0} 인 다항식은 p = 0 {\displaystyle p=0} 밖에 없다면, S {\displaystyle S} 를 대수적 독립 집합 (영어 : algebraically independent set )이라고 한다. L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 차수 (영어 : transcendence degree )는 L {\displaystyle L} 에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기 이며, trdeg K L {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}L} 와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대 (代數的擴大, 영어 : algebraic extension )라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대 (超越擴大, 영어 : transcendental extension )라고 한다.
L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 기저 (超越基底, 영어 : transcendence basis ) S {\displaystyle S} 는 L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)} 가 대수적인 대수적 독립 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 L = K ( S ) {\displaystyle L=K(S)} 라면, L / K {\displaystyle L/K} 를 순수 초월 확대 (純粹超越擴大, 영어 : purely transcendental extension )라고 한다.
생성원으로 정의되는 확대 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 L {\displaystyle L} 의 부분 집합 S ⊂ L {\displaystyle S\subset L} 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, L {\displaystyle L} 속에서 S {\displaystyle S} 로 생성되는 K {\displaystyle K} 의 확대 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 는 S ∪ K {\displaystyle S\cup K} 를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 L {\displaystyle L} 의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. K [ S ] ⊆ L {\displaystyle K[S]\subseteq L} 가, S {\displaystyle S} 의 원소들에 대한 K {\displaystyle K} 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 는 K [ S ] {\displaystyle K[S]} 의 분수체 와 동형이다.
K ( S ) = Frac K [ S ] = { p / q : p ∈ K [ S ] , q ∈ K [ S ] , q ≠ 0 } ⊆ L {\displaystyle K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L} 또한, 만약 S {\displaystyle S} 가 유한 집합이며, L {\displaystyle L} 이 대수적 확대라면 K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} 는 유한 확대이다.
체의 확대 M / K {\displaystyle M/K} 속에서 두 부분체
K ⊆ L 1 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{1}\subseteq M} K ⊆ L 2 ⊆ M {\displaystyle K\subseteq L_{2}\subseteq M} 가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체 (合成體, 영어 : compositum )는 K ( L 1 ∪ L 2 ) ⊆ M {\displaystyle K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M} 이다.
체 노름과 체 대각합 유한 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 L {\displaystyle L} 은 유한 차원 K {\displaystyle K} -벡터 공간 이며, 임의의 원소 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여 a ⋅ : L → L {\displaystyle a\cdot \colon L\to L} 은 K {\displaystyle K} -벡터 공간 의 선형 변환 이다. 따라서 그 행렬식 과 대각합 을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름 (體norm, 영어 : field norm ) N L / K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}} 과 체 대각합 (體對角合, 영어 : field trace ) T L / K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}} 이라고 한다.
N L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K} N L / K : a ↦ det ( a ⋅ ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )} T L / K : L → K {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K} T L / K : a ↦ tr ( ⋅ a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)} 보다 일반적으로, a ⋅ {\displaystyle a\cdot } 의 고유 다항식 을 취할 수 있으며, 이는 K {\displaystyle K} 계수의 일계수 다항식 이다.
χ L / K ( x ; a ) = det ( x − a ⋅ ) ∈ K [ x ] {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]} 이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
χ L / K ( x ; a ) = x [ L : K ] − T L / K ( a ) x [ L : K ] − 1 + ⋯ + ( − 1 ) [ L : K ] N L / K ( a ) {\displaystyle \chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)} 체 노름과 체 대각합은 최소 다항식 으로도 정의할 수 있다. 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여, 그 최소 다항식 이 p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 라고 하고, 그 근들의 중복집합 이 { σ 1 ( a ) , … , σ n ( a ) } ∈ K ¯ {\displaystyle \{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}} 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
N L / K ( a ) = ( ∏ i = 1 n σ i ( a ) ) [ L : K ( a ) ] {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}} T L / K ( a ) = [ L : K ( a ) ] ∑ i = 1 n σ i ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)} 만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 분해 가능 확대 라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.
만약 L / K {\displaystyle L/K} 가 갈루아 확대 라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.
N L / K ( a ) = ∏ g ∈ Gal ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} T L / K ( a ) = ∑ g ∈ Gal ( L / K ) g ( a ) {\displaystyle \operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)} 여기서 Gal ( L / K ) {\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)} 는 갈루아 군 이다.
성질 체의 확대는 항상 단사 함수 이다. (전단사 함수 인 체의 확대는 체의 자기 동형 (영어 : automorphism )이라고 한다.) 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 존재한다면, K {\displaystyle K} 와 L {\displaystyle L} 의 표수 는 서로 일치한다.
∃ L / K ⟹ char K = char L {\displaystyle \exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L} 차수와 초월 차수 확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 M / L {\displaystyle M/L} 이 주어졌을 때, 합성 확대 M / K {\displaystyle M/K} 의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[ M : K ] = [ L : K ] [ M : L ] {\displaystyle [M:K]=[L:K][M:L]} trdeg K M = trdeg K L + trdeg L M {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M} 여기서 좌변은 일반적으로 기수 의 곱 또는 합이다.
초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수 이다.
체 노름과 체 대각합 노름은 체의 가역원군 의 군 준동형 을 이룬다. 즉, 임의의 a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} 에 대하여
N L / K ( a b ) = N L / K ( a ) N L / K ( b ) {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)} 이며, 만약 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} 이라면
N L / K ( a − 1 ) = N L / K ( a ) − 1 {\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}} 이다. 또한, 만약 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 및 M / L {\displaystyle M/L} 이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.
N M / K = N L / K ∘ N M / L {\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}} 대수적 수체 K / Q {\displaystyle K/\mathbb {Q} } 에서, 모든 대수적 정수 a ∈ O K {\displaystyle a\in {\mathcal {O}}_{K}} 의 체 노름은 (유리수) 정수이다.
∀ a ∈ O K : N K / Q ( a ) ∈ Z {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z} } 또한, 다음이 성립한다.
∀ a ∈ O K : | N K / Q ( a ) | = | O K / ( a ) | {\displaystyle \forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|} 여기서 좌변은 체 노름의 절댓값 이고, 우변은 주 아이디얼 에 대한 몫환 의 크기 이다. 이를 일반화하여, O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} 의 임의의 아이디얼 a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} 에 대하여
N K / Q ( a ) = | O K / a | {\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|} 로 정의한다.
분류 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 S ⊂ L ∖ K {\displaystyle S\subset L\setminus K} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K ( S ) / K {\displaystyle K(S)/K} 는 순수 초월 확대이며, L / K ( S ) {\displaystyle L/K(S)} 는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.
체 K {\displaystyle K} 의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 와 동형이며, 이는 S {\displaystyle S} 의 집합의 크기 | S | {\displaystyle |S|} 에 따라 완전히 분류된다.
체 K ( S ) {\displaystyle K(S)} 의 대수적 확대의 분류는 K {\displaystyle K} 위의 | S | {\displaystyle |S|} 차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체 의 쌍유리 동치 에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학 적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 K {\displaystyle K} 가 대수적으로 닫힌 체 이며 | S | = 1 {\displaystyle |S|=1} 인 경우, 이는 K {\displaystyle K} 위의 대수 곡선 들의 쌍유리 분류에 해당한다.
종류 위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
예 대수적 폐포 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 및 분해 가능 폐포 K sep {\displaystyle K^{\operatorname {sep} }} 를 정의할 수 있으며, 또한 K {\displaystyle K} 의 표수에 따라서 K 0 {\displaystyle K_{0}} 를 다음과 같이 정의하자.
K 0 = { F p p = char K > 0 Q char K = 0 {\displaystyle K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}} 여기서 F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} 는 크기 p {\displaystyle p} 의 유한체 이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
K 0 ⊆ K ⊆ K sep ⊆ K ¯ {\displaystyle K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}} K ¯ / K {\displaystyle {\bar {K}}/K} 는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.
유리 함수 · 형식적 로랑 급수 임의의 체 K {\displaystyle K} 에 대하여, 유리 함수체 K ( x ) = Frac K [ x ] {\displaystyle K(x)=\operatorname {Frac} K[x]} 및 형식적 로랑 급수체 K ( ( x ) ) = Frac K [ [ x ] ] {\displaystyle K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]} 를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
K ⊊ K ( x ) ⊊ K ( ( x ) ) {\displaystyle K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))} 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[ K ( x ) : K ] = ℵ 0 {\displaystyle [K(x):K]=\aleph _{0}} trdeg K K ( x ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1} [ K ( ( x ) ) : K ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}} 유리수 · 실수 · 복소수 유리수체 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } , 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
Q ⊊ R ⊊ C {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C} } 이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
[ R : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} trdeg Q R = 2 ℵ 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}} [ C : R ] = 2 {\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2} trdeg R C = 0 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0} 체의 확대 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 에서의 체 노름은 다음과 같다.
N C / R : x + i y ↦ x 2 + y 2 = | x + i y | 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}} 이다.
유리수체의 확대 유리수체 의 유한 확대는 수체 라고 하며, Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} } 나 Q ( − 1 ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q} } 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.
원주율 π {\displaystyle \pi } 및 자연 로그의 밑 e {\displaystyle e} 는 초월수 이므로, Q [ π ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q} } 와 Q ( e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q} } 는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 { π , e } {\displaystyle \{\pi ,e\}} 가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, Q ( π , e ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q} } 는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.
[ Q ( π ) : Q ) ] = [ Q ( e ) : Q ] = [ Q ( π , e ) : Q ] = ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}} trdeg Q Q ( π ) = trdeg Q Q ( e ) = 1 {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1} trdeg Q Q ( π , e ) ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle \operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}} 이차 수체 Q [ n ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} } 에서의 체 노름은 다음과 같다.
N Q [ n ] / Q : a + n b ↦ ( a + n b ) ( a − n b ) = a 2 − n b 2 {\displaystyle \operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}} 이다.
p 진수체소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.
Q ⊊ Q p ⊊ Q ¯ p ⊊ C p {\displaystyle \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}} 여기서 Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} 는 p진수체 이며, Q ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}} 는 그 대수적 폐포 이며, C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 는 그 완비화 이다. C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} 는 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 와 체 로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
[ Q p : Q ] = 2 ℵ 0 {\displaystyle [\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}} 유한체 소수 p {\displaystyle p} 가 주어졌을 때, 표수 p {\displaystyle p} 의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
F p ⊊ F p 2 ⊊ ⋯ ⊊ F p n ⊊ ⋯ F ¯ p = lim → n → ∞ F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}} 여기서 F ¯ p {\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}} 는 유한체의 대수적 폐포 이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한 을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
[ F p n + 1 : F p ] = p {\displaystyle [\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p} [ F ¯ p : F p n ] = ℵ 0 {\displaystyle [{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}} 대수다양체의 유리 함수체 대수적으로 닫힌 체 K {\displaystyle K} 위의 대수다양체 X {\displaystyle X} 가 주어졌을 때, X {\displaystyle X} 위의 유리 함수체
L = Γ ( X , K X ) {\displaystyle L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})} 는 K {\displaystyle K} 의 확대이다. 이 경우, X {\displaystyle X} 의 쌍유리 동치류 는 확대 L / K {\displaystyle L/K} 로부터 완전히 결정된다. 특히, X {\displaystyle X} 의 크룰 차원 은 L / K {\displaystyle L/K} 의 초월 차수와 같다.
dim X = trdeg K L {\displaystyle \dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L} 이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.
n {\displaystyle n} 차원 유리 다양체 의 유리 함수체는 순수 초월 확대 K ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})} 이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선 을 생각하자.
y 2 = p ( x ) {\displaystyle y^{2}=p(x)} 여기서 p ( x ) ∈ K [ x ] {\displaystyle p(x)\in K[x]} 는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 x {\displaystyle x} 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, x {\displaystyle x} 위의 올 은 ± p ( x ) {\displaystyle \pm {\sqrt {p(x)}}} 이다. 2 ⌈ ( deg p ) / 2 ⌉ {\displaystyle 2\lceil (\deg p)/2\rceil } 개의 분기점들은 p {\displaystyle p} 의 근 및 (만약 2 ∤ deg p {\displaystyle 2\nmid \deg p} 인 경우) 무한대 ∞ ^ {\displaystyle {\widehat {\infty }}} 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대
K ( x , p ( x ) ) / K {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K} 로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 K ( x , p ( x ) ) / K ( x ) {\displaystyle K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)} 에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선 의 경우 이 함수체 (타원 함수 체)는 바이어슈트라스 타원 함수 로 다음과 같이 주어진다.
C ( ρ , 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 ρ ′ ) {\displaystyle \mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')} 이는 바이어슈트라스 타원 함수가 ℘ ′ 2 = 4 ℘ 3 + g 2 ℘ + g 3 {\displaystyle \wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}} 를 만족시키기 때문이다.
같이 보기 참고 문헌 외부 링크