정의 성질 멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건 은 대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.
체의 확대 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에 대하여, L {\displaystyle L} 은 가환 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식 이다. 귀류법 을 써서, L / K {\displaystyle L/K} 에서 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 의 최소 다항식 p a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}\in K[x]} 가 인수 분해가 가능하다면 ( p a = q r {\displaystyle p_{a}=qr} ), K {\displaystyle K} 는 정역 이므로 q ( a ) = 0 {\displaystyle q(a)=0} 이거나 r ( a ) = 0 {\displaystyle r(a)=0} 이며, deg q , deg r < deg p {\displaystyle \deg q,\deg r<\deg p} 이다. 그러나 p a {\displaystyle p_{a}} 는 J a {\displaystyle {\mathfrak {J}}_{a}} 의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.
대수적 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에서, K {\displaystyle K} 가 완전체 라면 임의의 a ∈ L {\displaystyle a\in L} 에 대하여 p a ( x ) ∈ K [ x ] ⊂ K ¯ [ x ] {\displaystyle p_{a}(x)\in K[x]\subset {\bar {K}}[x]} 의 (대수적 폐포 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나 K {\displaystyle K} 가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우 L / K {\displaystyle L/K} 가 분해 가능 확대 가 아니라고 한다.
행렬 체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 의 유한 차원 K {\displaystyle K} -단위 결합 대수 Mat ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 에서, 임의의 행렬 M ∈ Mat ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음 에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬 G ∈ GL ( n ; K ) {\displaystyle G\in \operatorname {GL} (n;K)} 에 대하여, M {\displaystyle M} 과 G − 1 M G {\displaystyle G^{-1}MG} 의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약 L {\displaystyle L} 이 K {\displaystyle K} 를 포함하는 더 큰 체일 경우, M {\displaystyle M} 의 Mat ( n ; K ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} 에서의 최소 다항식과 Mat ( n ; L ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;L)} 에서의 최소 다항식은 일치한다.
체 K {\displaystyle K} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 행렬 M ∈ Mat ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다. M {\displaystyle M} 은 삼각화 가능 행렬이다.또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
M {\displaystyle M} 의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다. M {\displaystyle M} 은 대각화 가능 행렬 이다.케일리-해밀턴 정리 에 따라, M ∈ Mat ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 최소 다항식은 특성 다항식 을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로, M ∈ Mat ( n ; K ) {\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;K)} 의 최소 다항식의 소인수 분해 가
p M ( x ) = ∏ p p n p ( x ) {\displaystyle p_{M}(x)=\prod _{p}p^{n_{p}}(x)} 라면,
deg p ∣ dim ker p n p ( M ) {\displaystyle \deg p\mid \dim \ker p^{n_{p}}(M)} n p ≤ dim ker p n p ( M ) / deg p {\displaystyle n_{p}\leq \dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p} det ( x − M ) = ∏ p p dim ker p n p ( M ) / deg p {\displaystyle \det(x-M)=\prod _{p}p^{\dim \ker p^{n_{p}}(M)/\deg p}} 이다.[2] :196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4
예 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} 에서, a ∈ K {\displaystyle a\in K} 라면, p a ( x ) = x − a ∈ K [ x ] {\displaystyle p_{a}(x)=x-a\in K[x]} 이다.
실수체 의 확대인 복소수체 C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } 에서, z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } 의 최소 다항식은 다음과 같다.
p z ( x ) = { x − z z ∈ R ( x − z ) ( x − z ¯ ) = x 2 − 2 ( z + z ¯ ) x + z z ¯ z ∈ C ∖ R {\displaystyle p_{z}(x)={\begin{cases}x-z&z\in \mathbb {R} \\(x-z)(x-{\bar {z}})=x^{2}-2(z+{\bar {z}})x+z{\bar {z}}&z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} \end{cases}}} 실수 행렬
M = ( 1 2 0 0 2 0 − 2 − 2 − 1 ) ∈ Mat ( 3 ; R ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&-1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (3;\mathbb {R} )} 의 특성 다항식은
det ( x − M ) = ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle \det(x-M)=(x+1)(x-1)(x-2)} 이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로, M {\displaystyle M} 의 최소 다항식 역시
p M ( x ) = ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) {\displaystyle p_{M}(x)=(x+1)(x-1)(x-2)} 이다.
대수적 수체 이차 수체 Q ( d ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} } 에서, d {\displaystyle d} 가 제곱 인수가 없는 정수 라고 하자. 그렇다면 d {\displaystyle {\sqrt {d}}} 의 최소 다항식은 x 2 − d ∈ Q [ x ] {\displaystyle x^{2}-d\in \mathbb {Q} [x]} 이다.
2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 의 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.
p 2 + 3 ( x ) = x 4 − 10 x 2 + 1 = ( x − 2 − 3 ) ( x + 2 − 3 ) ( x − 2 + 3 ) ( x + 2 + 3 ) {\displaystyle p_{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}(x)=x^{4}-10x^{2}+1=(x-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}})(x-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})} 원분체 Q ( ζ n ) / Q {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} } 에서, ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} 의 최소 다항식은 원분 다항식 (영어 : cyclotomic polynomial ) Φ n {\displaystyle \Phi _{n}} 이라고 하며, 다음과 같다.
Φ 1 ( x ) = x − 1 {\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1} Φ 2 ( x ) = x + 1 {\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1} Φ 3 ( x ) = x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1} Φ 4 ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1} Φ 5 ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} Φ 6 ( x ) = x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1} Φ 7 ( x ) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} Φ 8 ( x ) = x 4 + 1 {\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1} Φ 9 ( x ) = x 6 + x 3 + 1 {\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1} Φ 10 ( x ) = x 4 − x 3 + x 2 − x + 1 {\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1} ⋮ {\displaystyle \vdots } 특히, n {\displaystyle n} 이 소수 일 경우
Φ n ( x ) = 1 + x + x 2 + ⋯ + x n − 1 {\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}} 이다.
분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식 분해 가능 확대 가 아닌 체의 확대 ( F p ( x ) [ y ] / ( y p − x ) ) / F p ( x ) {\displaystyle (\mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x))/\mathbb {F} _{p}(x)} 에서, y ∈ F p ( x ) [ y ] / ( y p − x ) {\displaystyle y\in \mathbb {F} _{p}(x)[y]/(y^{p}-x)} 의 최소 다항식은
p y ( X ) = X p − x ∈ F p ( x ) [ X ] {\displaystyle p_{y}(X)=X^{p}-x\in \mathbb {F} _{p}(x)[X]} 이다. 이 경우, F p ( x ) ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(x)}}} 위에서
p y ( X ) = ( X p − ( x p ) p ) = ( X − x p ) p {\displaystyle p_{y}(X)=(X^{p}-({\sqrt[{p}]{x}})^{p})=(X-{\sqrt[{p}]{x}})^{p}} 이다. 즉, p y {\displaystyle p_{y}} 는 분해 가능 다항식이 아니다.
같이 보기 각주 외부 링크