Oilerio formulė

Oilerio formule vadinama formulė ${\mathsf {e}}^{i\phi }=\cos(\phi )+i\sin(\phi )$ , čia i – menamasis vienetas,^[1] o $\phi$ - kompleksinio skaičiaus argumentas.^[2]

Įdomu pastebėti, kad $|{\mathsf {e}}^{i\phi }|=\cos ^{2}(\phi )+\sin ^{2}(\phi )=1$ .

Iš formulės išplaukia, kad ${\mathsf {e}}^{i\phi }={\mathsf {e}}^{i(\phi +2\pi )}=\cos(\phi +2\pi )+i\sin(\phi +2\pi )$ .

Įrodymas

Pasižymime $z=\cos x+i\sin x$ , randame šio dydžio diferencialą:

{\mathsf {d}}z=(-\sin x+i\cos x){\mathsf {d}}x=(i\cos x+i^{2}\sin x){\mathsf {d}}x=iz{\mathsf {d}}x

Lygtį galime perrašyti taip:

{\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\;{\mathsf {d}}x

\int {\frac {{\mathsf {d}}z}{z}}=i\int {\mathsf {d}}x

\ln z=ix+C\quad

Konstantos $C$ vertę gauname paėmę $x=0$ , tada $z=1$ , $C=\ln 1=0$ , taigi:

\ln z=ix\quad

.

Iš čia:

{\mathsf {e}}^{ix}=z

{\mathsf {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x

Formulę taip pat galima įrodyti išskleidus abi lygybės puses Teiloro eilutėmis.