Kvadratas (algebra)

Kvadratinis skaičius yra skaičius, kuris yra kito natūraliojo skaičiaus kvadratas, pvz., pirmieji penki kvadratiniai skaičiai yra:

${\displaystyle 1^{2}=1;\;2^{2}=4;\;3^{2}=9;\;4^{2}=16;\;5^{2}=25;}$

Kvadratinius skaičius taip pat galima sudaryti iš bet kokių realiųjų ar net kompleksinių skaičių. Apskritai kvadrato sąvoka gali būti taikoma visoms vidinėms dviejų skaitmenų operacijoms, parašytoms daugybos būdu, pavyzdžiui, matricų daugyboje.

• realiojo skaičiaus kvadratas visada yra didesnis arba lygus nuliui, nes reikšmių sandauga su tuo pačiu ženklu visada yra teigiama:

${\displaystyle x^{2}\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb {R} .}$

• dėl tos pačios priežasties galioja:

${\displaystyle x^{2}=\left(-x\right)^{2}.}$

• menamojo skaičiaus kvadratas yra visada yra mažesnis už nulį, nes menamąjį vienetą keliant kvadratu gaunamas neigiamas skaičius, kuris tada padauginamas iš koeficiento kvadrato (kuris yra teigiamas).
• nelyginių skaičių suma eilės tvarka sudaro tobulą lyginio arba nelyginio skaičiaus kvadratą (šią ypatybę žinojo graikų matematikas Euklidas):

${\displaystyle 1=1^{2}}$

${\displaystyle 1+3=2^{2}}$

${\displaystyle 1+3+5=3^{2}}$

${\displaystyle 1+3+5+7=4^{2}}$

${\displaystyle 1+3+5+7+9=5^{2}}$

• Kvadratų sumą ${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\ldots +n^{2}}$ galima apskaičiuoti formule ${\displaystyle {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}$ .^[1]