Substitūcija

Bikvadrātvienādojumi

Atrisinot bikvadrātvienādojumu, lieto substitūciju ${\displaystyle z=x^{2}}$ , tādējādi pazeminot dotā vienādojuma pakāpi un iegūstot kvadrātvienādojumu pēc jaunieviestā mainīgā ${\displaystyle z}$ , kuram risinājuma gaita jau ir zināma. Atrasto sakņu vērtības pielīdzina apzīmētajai sākotnējā mainīgā izteiksmei un atrod ${\displaystyle x}$ vērtības.^[2]

Piemērs: ${\displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0}$

1) Pieņem, ka ${\displaystyle z=x^{2}}$

Tātad ${\displaystyle z^{2}-5z+6=0}$

2) Pēc Vjeta teorēmas aprēķina saknes

${\displaystyle z_{1}=2;z_{2}=3}$

3) ${\displaystyle z_{1}}$ un ${\displaystyle z_{2}}$ pielīdzina ${\displaystyle x^{2}}$ , un aprēķina dotā vienādojuma saknes

${\displaystyle x^{2}=2;x^{2}=3}$

${\displaystyle x=\pm {\sqrt {2}};x=\pm {\sqrt {3}}}$

Logaritmiskie vienādojumi

Ja logaritmiskais vienādojums satur vairākas viena un tā paša logaritma dažādas izteiksmes, tad, ar substitūcijas metodi šo logaritmu apzīmējot ar jaunu mainīgo, iegūst algebrisku vienādojumu, no kura iegūtajām saknēm pielīdzina iepriekš apzīmēto logaritmu, un šo vienādojumu saknes ir arī dotā vienādojuma saknes..^[3]

Piemērs: ${\displaystyle log_{2}^{2}x-6log_{2}x+8=0}$

1) Pieņems, ka ${\displaystyle z=log_{2}x}$

Tātad ${\displaystyle z^{2}-6z+8=0}$

2) Pēc Vjeta teorēmas aprēķina saknes

${\displaystyle z_{1}=2;z_{2}=4}$

3) ${\displaystyle z_{1}}$ un ${\displaystyle z_{2}}$ pielīdzina ${\displaystyle log_{2}x}$ un aprēķina dotā vienādojuma saknes

${\displaystyle log_{2}x=2;log_{2}x=4}$

${\displaystyle x_{1}=4;x_{2}=16}$

Eksponentvienādojumi

Ja dotais vienādojums ir reducēts uz vienādojumu ${\displaystyle A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}+C=0}$ , kur A,B,C — reāli skaitļi, ${\displaystyle a>0,a\neq 0}$ , tad vienādojumu var atrisināt, lietojot substitūciju ${\displaystyle a^{x}=z}$ .^[3] Ir iespējams šādi atrisināt arī augstākas pakāpes vienādojumus (piemēram, ja tas satur ${\displaystyle a^{3x}}$ ), taču tad vienādojumam jābūt strukturētam tā, ka, ieviešot jauno mainīgo, visi mainīgie ${\displaystyle x}$ tiek aizstāti un substitūcijas rezultātā tiek iegūts atrisināms algebrisks vienādojums atkarīgs no ${\displaystyle z}$ .

Piemērs: ${\displaystyle 4^{x}-3\cdot 2^{x}+2=0}$

1) Pārveido vienādojumu

${\displaystyle 2^{2x}-3\cdot 2^{x}+2=0}$

2) Pieņem, ka ${\displaystyle z=2^{x}}$

Tātad ${\displaystyle z^{2}-3z+2=0}$

3) Pēc Vjeta teorēmas aprēķina saknes

${\displaystyle z_{1}=1;z_{2}=2}$

4) ${\displaystyle z_{1}}$ un ${\displaystyle z_{2}}$ pielīdzina ${\displaystyle 2^{x}}$ un aprēķina dotā vienādojuma saknes

${\displaystyle 2^{x}=1;2^{x}=2}$

${\displaystyle x_{1}=0;x_{2}=1}$

Nevienādības

Nevienādību gadījumā var rīkoties līdzīgi vienādojumiem — tiek izmantota substitūcija pēc vienādojumu analoģijas, tad tiek atrisināta nevienādība pēc jaunieviestā mainīgā, un iegūtos intervālus pielīdzina apzīmētajai mainīgā izteiksmei. Iegūtās nevienādības atrisinot, iegūst atrisinājuma intervālus sākotnējai nevienādībai.^[4]

Piemērs: ${\displaystyle 4^{x}-3\cdot 2^{x}+2<0}$

1) Pārveido nevienādību

${\displaystyle 2^{2x}-3\cdot 2^{x}+2<0}$

2) Pieņem, ka ${\displaystyle z=2^{x}}$

Tātad ${\displaystyle z^{2}-3z+2<0}$

3) Atrisinot nevienādību, iegūst, ka

${\displaystyle z\in (1;2)}$ jeb ${\displaystyle {\begin{cases}z<2\\z>1\end{cases}}}$

4) ${\displaystyle z}$ vietā ievieto ${\displaystyle 2^{x}}$ un nevienādību sistēma atrisina

${\displaystyle {\begin{cases}2^{x}<2\\2^{x}>1\end{cases}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\begin{cases}x<1\\x>0\end{cases}}}$

${\displaystyle x\in (0;1)}$