Symmetriegroep van de kubus

Een kubus is meervoudig symmetrisch omdat er meerdere isometrieën (in dit geval rotaties en spiegelingen) zijn waarna de kubus er precies hetzelfde uitziet: de originele kubus en de beeldkubus zijn niet van elkaar te onderscheiden. Die transformaties zijn de symmetrieën van een kubus. De verzameling van al deze transformaties is de symmetriegroep van de kubus: ${\displaystyle K_{3}}$ . ${\displaystyle K_{3}}$ bestaat uit 48 verschillende symmetrische transformaties.

Operatie type

De symmetrische operaties van ${\displaystyle K_{3}}$ zijn naast rotaties en spiegelingen draaispiegelingen. Een draaispiegeling is een vlakspiegeling gevolgd door een rotatie om de normaal op het spiegelvlak.^[1] Deze normaal kan een coördinaatas (3, type RS4as) of een lichaamsdiagonaal (4, type RS6lich) zijn. De kubus is niet spiegelsymmetrisch t.o.v. een vlak loodrecht op een lichaamsdiagonaal, dus de gewone spiegelsymmetrieën hebben als normaal op het spiegelvlak of een coördinaatas (type Sas) of een diagonaal (type Sdiag). De rotatiesymmetrieën van de kubus zijn om alle coördinaatassen (3, type R2as en R4as), diagonalen (6, type R2diag) en lichaamsdiagonalen (4, type R3lich). De spiegeling t.o.v. het middelpunt van de kubus (type Spunt) heeft geen spiegelvlak. Ten slotte is er nog de identiteit (type ident), de triviale operatie die niets doet.

De symmetriegroep ${\displaystyle K_{3}}$ is niet zo maar een willekeurige verzameling transformaties. Als de kubus niet verandert door transformatie t₁ en ook niet door transformatie t₂, dan is duidelijk dat ook het uitvoeren van zowel t₁ als t₂ de kubus ongewijzigd zal laten: de transformaties t₁*t₂ en t₂*t₁ behoren ook tot de verzameling. De verzameling vormt een wiskundige groep, ${\displaystyle K_{3}}$ : de symmetriegroep van de kubus.

Als we een kubus beschilderen (of op een andere manier markeringen aanbrengen), dan is die kubus daarna mogelijk minder symmetrisch. Dat kan variëren van asymmetrisch tot nog steeds volledig symmetrisch overeenkomstig de blanco kubus. Maar de verzameling symmetrieoperaties is ook na beschildering een wiskundige groep. Deze symmetriegroep van een beschilderde kubus is een ondergroep van ${\displaystyle K_{3}}$ . ${\displaystyle K_{3}}$ heeft 97 ondergroepen.

De 97 ondergroepen van ${\displaystyle K_{3}}$ zijn verdeeld over 32 klassen van geconjugeerde ondergroepen, inclusief de triviale ondergroep met alleen de identiteit. De ondergroepen in een klasse zijn verwisselbaar middels conjugatie. Ondergroepen die tot verschillende klassen behoren kunnen niet worden verwisseld. Deze klassen van geconjugeerde ondergroepen zijn disjunct. Samen met ${\displaystyle K_{3}}$ zelf vormen deze 32 klassen de 33 symmetriesoorten van de kubus.

Dit betekent dat als we een kubus beschilderen die kubus een van deze 33 symmetriesoorten heeft. Een symmetriesoort met meerdere ondergroepen in de conjugatieklasse heeft daarmee verschillende beschilderingen van de kubus die in essentie dezelfde symmetrie zijn.

De orde van een symmetriesoort

Elke ondergroep in een symmetriesoort heeft hetzelfde aantal symmetrische operaties. De orde ${\displaystyle m}$ van de symmetriesoort is het aantal operaties in elke ondergroep.

Tabel van de symmetriesoorten

Legenda:

• OG = ondergroep
• #OGⁿ = aantal ondergroepen
• OGvb: de genoemde operaties genereren een van de ondergroepen van de symmetriesoort

Als een beschilderde kubus rotatiesymmetrisch is rond een lichaamsdiagonaal, dan is dat voor elk van de vier lichaamsdiagonalen een andere ondergroep, bij dezelfde symmetriesoort: r33Lich.

Symmetriesoort code

In bovenstaande tabel wordt bij elke symmetriesoort een code gegeven die iets zegt over de aard ervan. De code is gebaseerd op de door J.H. Conway bedachte orbifoldhandtekening.^[2][3] Die code is hier een beetje aangepast en bovendien aangevuld. In plaats van kleuren hebben de codes hier een r voor rotatiesymmetrisch en een s voor spiegelsymmetrisch. De code is aangevuld met As, Diag en/of Lich. Per symmetriesoort bij Conway kunnen bij de kubus meerdere symmetriesoorten voorkomen, omdat een kubus weliswaar topologisch equivalent is met een bol, maar een rotatie om een coördinaatas iets anders is dan een rotatie om een diagonaal, anders dan een rotatie om een lichaamsdiagonaal. Hetzelfde geldt voor spiegelingen, afhankelijk van de normaal op het spiegelvlak: coördinaatas, diagonaal of lichaamsdiagonaal. De code begint met een aanduiding van de aard van de symmetriesoort gebaseerd op de Conwaycode. Daarachter komt een aanduiding van de richting van de rotaties en spiegelingen waaruit de symmetriesoort is opgebouwd. Die aanvulling is niet altijd eenvoudig uit het totaal van de symmetrieën op te maken.

Tekening van de symmetriesoorten

De 33 symmetriesoorten van een kubus, gevisualiseerd met behulp van kleinere erin getekende kubussen:

Ontbrekend: Volledig (48-voudig) symmetrisch.

Symmetriesoorten volgens Conway

Conway onderscheidt op een boloppervlak 14 symmetriesoorten.^[4]

De 33 symmetriesoorten van de kubus per Conwaycode

De symmetriesoorten r532 en s532 komen bij de kubus niet voor.

Deze 33 symmetriesoorten zijn niet alleen van belang voor een kubus die is beschilderd . Ze gelden ook voor figuren die zijn opgebouwd uit kubussen, zoals polykubussen.^[5] De meeste polykubussen zijn asymmetrisch, maar vele hebben een of andere symmetrie. Die symmetrie is altijd een van deze 33 symmetriesoorten.

Symmetriegroep van het vierkant

Cube symmetry (Artikel in Engelstalige Wikipedia)

John H. Conway, Heidi Burgiel en Chaim Goodman-Strauss: The Symmetries of Things, 2008

Jan van de Craats: Symmetrie op de bol en in het vlak, NAW december 2011, blz 241-252

Jan van de Craats: Een passie voor symmetrie, Epsilon Uitgaven, 2014