Enhetsformelen

Enhetsformelen sier:

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}$

(Merk at sin² θ betyr (sin θ)²).

Hvis lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant er 1, så er lengden av katetene lik sinus og cosinus til en av vinklene. Derfor følger denne trigonometriske identiteten fra Pytagoras’ læresetning.

Bevis basert på rettvinklede trekanter

De elementære definisjonene av sinus- og cosinusfunksjonene ut fra sidene i en rettvinklet trekant er:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {motst} {\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}{\mathrm {hypotenus} }}={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {hosliggende} }{\mathrm {hypotenus} }}={\frac {a}{c}}\ .}$

Enhetsformelen følger ved å kvadrere begge definisjonene over, og legge sammen; venstre side i identiteten blir da

${\displaystyle {\frac {\mathrm {motst} {\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}^{2}+\mathrm {hosliggende} ^{2}}{\mathrm {hypotenus} ^{2}}}}$

som ved Pytagoras' setning er lik 1. Merk imidlertid at denne definisjonen bare er gyldig for vinkler mellom 0 og π/2 radianer (ikke inklusive 0 og π/2) og beviser derfor ikke identiteten for alle vinkler. Verdier på 0 og π/2 bevises enkelt ved direkte evaluering av sin og cos for disse vinkler.

• Enhetssirkel
• Potensrekke
• Differensialligning

• En interaktiv illustrasjon av enhetsformelen