Основное тригонометрическое тождество

Используя единичную окружность

Единичная окружность с центром в начале координат определяется уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ^[3]. Пускай на окружности лежит точка P, расположенная под углом θ от оси абсцисс. Тогда координаты этой точки: ${\displaystyle x=\cos \theta ;\ y=\sin \theta }$ . Соответственно исходя из уравнения окружности получаем: ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$ ^[4].

Используя прямоугольный треугольник

По определению, синус это отношение противоположного катета к гипотенузе, косинус — отношение прилегающего катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c получаем:

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {a}{c}}}$

Возведём эти выражения в квадрат и прибавим: ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}}$ . Согласно теореме Пифагора, ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , следовательно ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1}$ ^[5].

• Тригонометрические тождества
• Список математических тождеств