Logistisk vekst

^[1] Den logistiske ligningen er utviklet av den belgiske matematikeren Pierre François Verhulst i 1838 og er gitt av følgende ligning:

.${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=rN-aN^{2}=rN\left(1-{\frac {N}{K}}\right)}$

Her representerer ${\displaystyle N}$ antall individer på tidspunktet t, r den iboende vekstraten, a den intraspesifikke konkurransen mellom individene, og ${\displaystyle K={\frac {r}{a}}}$ bæreevnen til arten N, som representerer maksimalt antall individer som miljøet kan støtte.

Ved å løse ligningen med startbetingelsen ${\displaystyle N(0)=N_{0}}$ får man

${\displaystyle N(t)={\frac {K}{1+\left({\frac {K}{N_{0}}}-1\right)\exp(-rt)}}.}$

Grenseverdien når tiden går mot uendelig er gitt ved :

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }N=\quad \lim _{t\to \infty }{\frac {K}{1+\left({\frac {K}{N_{0}}}-1\right)\exp(-rt)}}={\frac {K}{1}}=K,}$

Så antall individer går mot miljøbærekapasitet K i det lange løp (når tiden går mot uendelig).