פונקציה לוגיסטית

הפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית היא פונקציה לוגיסטית עם פרמטרים (k = 1, x₀ = 0, L = 1) שמניבה

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{1+e^{-x}}}\\&={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})\\\end{aligned}}}$

עקב טבעה של הפונקציה המעריכית e^−x, לעיתים די לחשב את הפונקציה הלוגיסטית התקנית עבור x עבור טווח קטן של מספרים ממשיים כדוגמת הטווח ${\displaystyle [-6,+6]}$ .

לפונקציה הלוגיסטית תכונת סימטריות:

${\displaystyle 1-f(x)=f(-x).}$

בהתאם, ${\displaystyle x\mapsto f(x)-1/2}$ היא פונקציה אי זוגית.

הפונקציה הלוגיסטית היא פונקציה היפרבולית:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh({\tfrac {x}{2}})}$

או

${\displaystyle \tanh(x)=2\,f(2x)-1}$ .

על בסיס:

${\displaystyle \tanh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1}$ .

נגזרת

לפונקציה הלוגיסטית הסטנדרטית נגזרת הניתנת לחישוב:

• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}=f(x)(1-f(x))}$

עבור הנגזרת של הפונקציה הלוגיסטית מתקיימת התכונה:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {d}{dx}}f(-x).}$

פונקציה קדומה

את הפונקציה הקדומה של הפונקציה הלוגיסטית ניתן לחשב בעזרת אינטגרציה באמצעות החלפת משתנים ${\displaystyle u=1+e^{x}}$ , כיוון ש ${\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}}}$ , אז (בהשמטת קבוע האינטגרציה):

${\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\log u=\log(1+e^{x})}$

ברשתות עצביות מלאכותיות, זה ידוע כפונקציה ה-"softplus".

מדיה וקבצים בנושא פונקציה לוגיסטית בוויקישיתוף

• פונקציה לוגיסטית, באתר MathWorld (באנגלית)